1. 信号基础

1.1 Continuous-time and Discrete-time Signals

• 连续时间信号 (Continuous-time signal)
  $x(t)$

• 离散时间信号 (Discrete-time signal)
  $x[n]$

信号类型区分：

类型	时间	幅值
模拟信号	连续	连续
连续信号	连续	可连续
离散信号	离散	可连续
数字信号	离散	离散

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1.2 信号能量与功率

瞬时功率

$$p(t)=|x(t)|^2$$ $$p[n]=|x[n]|^2$$

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能量 (Energy)

连续时间：

$$E=\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^2 dt$$

离散时间：

$$E=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2$$

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平均功率 (Average Power)

连续时间：

$$P=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|x(t)|^2dt$$

离散时间：

$$P=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{2N}\sum_{n=-N}^{N}|x[n]|^2$$

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信号分类

1️⃣ 能量信号

$$E<\infty,\quad P=0$$

2️⃣ 功率信号

$$E=\infty,\quad P<\infty$$

例：

$$x[n]=4 \Rightarrow P=16$$

3️⃣ 无限能量与功率信号

$$x(t)=t$$

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2. 信号基本变换

2.1 时间变换

时间平移

$$x(t)\rightarrow x(t-t_0)$$ $$x[n]\rightarrow x[n-n_0]$$

规律：

左加右减（delay）

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时间反转

$$x(t)\rightarrow x(-t)$$ $$x[n]\rightarrow x[-n]$$

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时间尺度变换

$$x(t)\rightarrow x(at)$$

• $|a|>1$ → 压缩
• $|a|<1$ → 展开

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一般线性变换

$$x(t)\rightarrow x(\alpha t+\beta)$$

操作顺序：

1. scaling
2. shifting

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3. 周期信号

连续信号：

$$x(t)=x(t+T)$$

基本周期：

$$T_0=\min\{T\}$$

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离散信号：

$$x[n]=x[n+N]$$

基本周期：

$$N_0=\min\{N\}$$

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4. 奇偶信号

偶信号：

$$x(t)=x(-t)$$

奇信号：

$$x(t)=-x(-t)$$

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奇偶分解

偶部：

$$x_e(t)=\frac{1}{2}[x(t)+x(-t)]$$

奇部：

$$x_o(t)=\frac{1}{2}[x(t)-x(-t)]$$

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5. 指数与正弦信号

5.1 Continuous Exponential Signal

$$x(t)=e^{st},\quad s=\sigma+j\omega$$ $$x(t)=e^{\sigma t}e^{j\omega t}$$

• $\sigma$ 控制增长/衰减
• $\omega$ 控制振荡

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5.2 正弦信号

$$x(t)=A\cos(\omega_0t+\phi)$$

或

$$x(t)=A\sin(\omega_0t+\phi)$$

Euler公式：

$$\cos x=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}$$ $$\sin x=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}$$

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5.3 离散指数信号

$$x[n]=z^n$$

其中

$$z=e^s$$

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离散复指数周期条件

$$x[n]=e^{j\omega_0 n}$$

周期条件：

$$\omega_0 N=2\pi m$$

即：

$$\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{m}{N}$$

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6. 单位冲激与阶跃函数

6.1 离散时间

Unit Impulse

$$\delta[n]= \begin{cases} 1 & n=0\\ 0 & n\neq0 \end{cases}$$

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Unit Step

$$u[n]= \begin{cases} 1 & n\ge0\\ 0 & n<0 \end{cases}$$

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关系

$$\delta[n]=u[n]-u[n-1]$$ $$u[n]=\sum_{k=-\infty}^{n}\delta[k]$$

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抽取性质

$$x[n]\delta[n-n_0]=x[n_0]\delta[n-n_0]$$

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6.2 连续时间

单位阶跃：

$$u(t)= \begin{cases} 1 & t>0\\ 0 & t<0 \end{cases}$$

单位冲激：

$$\delta(t)=0\ (t\neq0)$$ $$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$$

关系：

$$\delta(t)=\frac{d}{dt}u(t)$$

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δ函数性质

$$x(t)\delta(t)=x(0)\delta(t)$$ $$x(t)\delta(t-t_0)=x(t_0)\delta(t-t_0)$$

尺度变换：

$$\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t)$$

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7. 系统基础

系统表示：

连续系统：

$$x(t)\rightarrow L \rightarrow y(t)$$

离散系统：

$$x[n]\rightarrow L \rightarrow y[n]$$

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8. 系统性质

8.1 Memory

无记忆系统：

$$y(t)=f(x(t))$$

有记忆系统：

例如

$$y(t)=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau$$

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8.2 因果性

系统输出只依赖于当前或过去输入。

因果系统：

$$y(t)=x(t)\cos(t+1)$$

非因果系统：

$$y(t)=x(t+1)$$

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8.3 可逆性

若

$$x_1(t)\neq x_2(t)$$

则

$$y_1(t)\neq y_2(t)$$

系统可逆。

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8.4 稳定性

BIBO稳定：

若

$$|x(t)|<B$$

则

$$|y(t)|<C$$

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8.5 时不变性

若

$$x(t-t_0)\rightarrow y(t-t_0)$$

则系统 time-invariant。

例：

$$y(t)=x(2t)$$

不是时不变系统。

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8.6 线性系统

满足叠加性：

$$\alpha x_1(t)+\beta x_2(t) \rightarrow \alpha y_1(t)+\beta y_2(t)$$

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9. LTI 系统

LTI = Linear + Time-Invariant

核心性质：

任意信号可以由基本信号线性组合表示

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10. 卷积

离散：

$$y[n]=x[n]*h[n]$$ $$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k]$$

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连续：

$$y(t)=x(t)*h(t)$$ $$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$$

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卷积性质

1️⃣ 交换律

$$x*h=h*x$$

2️⃣ 结合律

$$x*(h_1*h_2)=(x*h_1)*h_2$$

3️⃣ 分配律

$$x*(h_1+h_2)=x*h_1+x*h_2$$

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11. Fourier Series

周期信号：

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_k e^{jk\omega_0 t}$$

系数：

$$x_k=\frac{1}{T}\int_T x(t)e^{-jk\omega_0 t}dt$$

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Parseval 定理

$$\frac{1}{T}\int_T |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty}|x_k|^2$$

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12. Fourier Transform

正变换：

$$X(j\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$$

反变换：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$

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常见性质

线性：

$$ax(t)+by(t)\leftrightarrow aX(j\omega)+bY(j\omega)$$

时间平移：

$$x(t-t_0)\leftrightarrow X(j\omega)e^{-j\omega t_0}$$

频率平移：

$$e^{j\omega_0t}x(t)\leftrightarrow X[j(\omega-\omega_0)]$$

尺度变换：

$$x(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}X(j\omega/a)$$

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13. Laplace Transform

定义：

$$X(s)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt$$

反变换：

$$x(t)=\frac{1}{2\pi j}\int X(s)e^{st}ds$$

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重要概念

• ROC (Region of Convergence)
• Poles (极点)
• Zeros (零点)

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初值定理

$$x(0^+)=\lim_{s\to\infty}sX(s)$$

终值定理：

$$\lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}sX(s)$$

（需保证极点条件）

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稳定性条件

LTI系统稳定：

$$\int_{-\infty}^{\infty}|h(t)|dt<\infty$$

等价：

ROC 包含 $j\omega$ 轴

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