波动学基础

振动状态在介质中的传播称为波动。

一、机械波的产生和传播

1. 机械波的类型

• 纵波：介质质点的振动方向与波的传播方向一致，可在固体、液体、气体中传播。
• 横波：介质质点的振动方向与波的传播方向垂直，一般只能在固体中传播，因为横波传播需要介质具有抗剪切能力。

说明：画纵波波形图时，通常仍以横轴表示传播方向、纵轴表示质点位移，这只是图示方式，并不表示质点真的沿纵轴振动。

2. 关于水波

水波不是单纯的纵波或横波，表面质点通常作较复杂的振动，常视为纵向与横向振动的合成。

3. 理想机械波模型

讨论中常采用理想机械波模型，即忽略耗散，介质均匀连续，波形稳定传播。

二、机械波的几何描述

• 波线：表示波传播方向的有向曲线。波线上任一点的切线方向，就是该点处波的传播方向。
• 波面：介质中振动相位相同的点构成的曲面。
• 波前：传播方向上最前面的波面。

三、平面简谐波的运动学方程

设坐标原点 $O$ 处的振动方程为：

$$y_O = A\cos(\omega t + \varphi)$$

则沿 $x$ 轴正方向传播的简谐波，在位置 $x$ 处的振动方程为：

$$y(x,t) = A\cos\left(\omega t + \varphi - 2\pi\frac{x}{\lambda}\right)$$

利用 $v=\lambda/T$、$\omega = 2\pi/T$、$k = 2\pi/\lambda$，可写为：

$$y(x,t) = A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi\right]$$ $$y(x,t) = A\cos\left[2\pi\left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right)+\varphi\right]$$ $$y(x,t) = A\cos(\omega t-kx+\varphi)$$

说明

1. $\varphi$ 是坐标原点处的初相，一般不必直接等同于波源初相。

2. 当 $x$ 固定时，上式表示该点的振动方程，其初相为：

   $$\varphi_x = \varphi - kx$$

3. 当 $t=t_0$ 固定时，得到该时刻的波形：

   $$y(x,t_0)=A\cos(kx-\omega t_0+\varphi)$$

四、波动方程

1. 一维简谐行波满足的波动方程

对行波表达式

$$y = A\cos\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi\right]$$

分别对 $t$ 和 $x$ 求二阶偏导：

$$\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -\omega^2 y$$ $$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = -\frac{\omega^2}{v^2}y$$

因此得到一维波动方程：

$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$$

注意：

$$\ddot{x}+\omega^2 x=0$$

是单个简谐振子的振动方程，不是波动方程。

2. 杆中的纵波与横波

• 杆中纵波：

$$\frac{Y}{\rho}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}, \qquad v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}}$$

其中 $Y$ 为杨氏模量，$\rho$ 为介质密度。

• 固体中的横波：

$$\frac{G}{\rho}\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}, \qquad v=\sqrt{\frac{G}{\rho}}$$

其中 $G$ 为剪切模量。

3. 地震波

• P 波：纵波（Primary wave）
• S 波：横波（Secondary wave）

五、波动的能量

1. 动能与势能

对于简谐机械波，介质微元既有动能，也有弹性势能，并且二者随时间同步变化。对简谐平面波，微元的平均动能与平均势能相等。

2. 微元的动能

设介质密度为 $\rho$，体积元为 $dV$，则其动能为：

$$dE_k = \frac{1}{2}\rho\,dV\,\omega^2 A^2 \sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi\right]$$

3. 微元的势能

$$dE_p = \frac{1}{2}\rho\,dV\,\omega^2 A^2 \sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi\right]$$

因此：

$$dE_p=dE_k$$

4. 微元的总机械能与能量密度

微元总机械能：

$$dE=dE_k+dE_p =\rho\,dV\,\omega^2 A^2 \sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi\right]$$

单位体积内的能量密度：

$$\varepsilon=\frac{dE}{dV} =\rho\omega^2 A^2 \sin^2\left[\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)+\varphi\right]$$

周期平均能量密度：

$$\bar{\varepsilon} =\frac{1}{T}\int_0^T \varepsilon\,dt =\frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2$$

5. 波的能流与波强

• 能流：单位时间内通过某截面的能量。
• 平均能流：

$$\bar{P}=\bar{\varepsilon}\,v\,S =\frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2\,v\,S$$

• 波强（平均能流密度）：

$$I=\frac{\bar{P}}{S} =\bar{\varepsilon}v =\frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2\,v$$

说明：这里的 $v$ 是波速。有些教材也记作 $u$，但最好统一。

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狭义相对论

一、与经典力学的基本区别

经典力学（伽利略时空观）

• 时间绝对
• 空间绝对
• 同时性绝对

狭义相对论

• 相对性原理：一切惯性系中的物理规律相同。
• 光速不变原理：真空中的光速 $c$ 在所有惯性系中都相同。

由此可知，时间、长度、同时性都不再是绝对的。

二、洛伦兹变换

设 $S'$ 相对 $S$ 以速度 $u$ 沿 $x$ 轴正方向运动，则标准洛伦兹变换为：

$$\begin{cases} x'=\gamma(x-ut) \\ y'=y \\ z'=z \\ t'=\gamma\left(t-\dfrac{ux}{c^2}\right) \end{cases}$$

其逆变换为：

$$\begin{cases} x=\gamma(x'+ut') \\ y=y' \\ z=z' \\ t=\gamma\left(t'+\dfrac{ux'}{c^2}\right) \end{cases}$$

其中

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

由洛伦兹变换可见

$$\Delta t'=\gamma\left(\Delta t-\frac{u\Delta x}{c^2}\right)$$

这说明：

• 若 $\Delta t=0$ 但 $\Delta x\neq 0$，则一般有 $\Delta t'\neq 0$，即同时性是相对的。
• 若某事件在一个参考系中同地发生（$\Delta x'=0$），则最适合用来定义其固有时间。

三、时间膨胀

设某一时钟静止在 $S'$ 系中，因此

$$\Delta x'=0,\qquad \Delta t'=T_0$$

其中 $T_0$ 称为固有时。

由逆变换得：

$$\Delta t=\gamma\left(\Delta t'+\frac{u\Delta x'}{c^2}\right)=\gamma T_0$$

因此：

$$T=\Delta t=\gamma T_0=\frac{T_0}{\sqrt{1-\dfrac{u^2}{c^2}}}$$

即：运动的钟变慢。观察者测得的时间间隔大于固有时。

四、长度收缩

设物体静止于 $S'$ 系，其固有长度为 $l_0$，即

$$\Delta x'=l_0$$

若在 $S$ 系中测量该运动物体的长度，必须满足同时测量，即

$$\Delta t=0$$

由变换式：

$$\Delta x'=\gamma(\Delta x-u\Delta t)=\gamma \Delta x$$

于是得：

$$l=\Delta x=\frac{l_0}{\gamma}=l_0\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}$$

即：运动方向上的长度收缩。

说明

1. 时间膨胀与长度收缩都有明确的适用条件。
2. 二者都具有相对性。
3. 二者并不矛盾，而是洛伦兹变换的不同表现。

例：$\mu$ 子问题

若 $\mu$ 子固有寿命为

$$T_0 \sim 2\times 10^{-6}\text{ s}$$

当其高速运动、$\gamma \gg 1$ 时：

• 在地面系看：$\mu$ 子寿命延长；
• 在 $\mu$ 子系看：大气层厚度收缩。

这两个描述是等价的。

五、速度变换

由洛伦兹变换可得速度变换公式：

1. $x$ 方向速度变换

$$v_x=\frac{v_x'+u}{1+\dfrac{uv_x'}{c^2}}$$

2. 垂直于运动方向的速度变换

$$v_y=\frac{v_y'}{\gamma\left(1+\dfrac{uv_x'}{c^2}\right)}$$ $$v_z=\frac{v_z'}{\gamma\left(1+\dfrac{uv_x'}{c^2}\right)}$$

3. 光速不变

若 $v_x'=c$，则

$$v_x=\frac{c+u}{1+\dfrac{cu}{c^2}}=c$$

故真空光速在各惯性系中保持不变。

六、相对论动力学

1. 相对论动量

现代写法中通常不再单独引入“相对论质量”，而采用静质量（不变质量）$m_0$。则相对论动量为：

$$\vec{p}=\gamma m_0 \vec{v}$$

2. 相对论总能量

$$E=\gamma m_0 c^2$$

静能量为：

$$E_0=m_0c^2$$

动能为：

$$E_k=E-E_0=(\gamma-1)m_0c^2$$

3. 能量—动量关系

$$E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$$

也可写成：

$$E^2=p^2c^2+E_0^2$$

说明：
“速度越大，质量越大”是旧教材常见表述。更严谨的说法是：随着速度增大，$\gamma$ 增大，因此动量和总能量增大。

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波动光学概述

当障碍物或孔径的线度 $d$ 与波长 $\lambda$ 可比时，必须用波动光学处理。

• 当 $d \gg \lambda$ 时，可近似采用几何光学。
• 当 $d \sim \lambda$ 时，衍射、干涉等波动现象明显。

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第 13 章 光的干涉

§1 光源的发光特性

一、光源

• 发光的基本微观单元是原子、分子。
• 光的发射通常与能级跃迁有关。
• 普通光源发出的光由大量彼此独立的波列组成，初相随机。
• 激光具有较好的单色性和相干性，波列较长，初相相关性强。

二、光的相干性

1. 两列光波的叠加

若两列同频光叠加，则合强度为：

$$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\Delta\varphi$$

• 非相干叠加：相位差随机变化，时间平均后干涉项为零：

  $$I=I_1+I_2$$

• 完全相干叠加：

  • 相长干涉（明）：

    $$\Delta\varphi=2k\pi$$

  • 相消干涉（暗）：

    $$\Delta\varphi=(2k+1)\pi$$

对应：

$$I_{\max}=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}$$ $$I_{\min}=I_1+I_2-2\sqrt{I_1I_2}$$

2. 条纹对比度（可见度）

$$V=\frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}$$

它与光的单色性、两束光的强度比、光源宽度等有关。

3. 获得相干光的基本方法

普通光源通常通过分波前或分振幅的方法获得相干光，本质上是“同一列光沿不同路径传播后再叠加”。

§2 光程与光程差

一、光程

在折射率为 $n_i$、几何路程为 $d_i$ 的各段介质中，光程定义为：

$$L=\sum n_i d_i$$

二、相位差与光程差

若 $\lambda$ 表示真空中的波长，则相位差满足：

$$\Delta\varphi = 2\pi \frac{\Delta L}{\lambda}$$

其中 $\Delta L$ 为光程差。

三、补充说明

光程差通常由两部分组成：

• 几何光程差
• 附加光程差（如反射引起的半波损失）

§3 双缝干涉

设两缝间距为 $d$，屏到双缝距离为 $D$，屏上某点相对中央位置的坐标为 $x$，且满足 $D\gg d$。

一、光程差

双缝到该点的光程差近似为：

$$\delta = d\sin\theta \approx d\frac{x}{D}$$

二、明暗条纹条件

• 明纹条件：

$$\delta = k\lambda,\qquad k=0,\pm1,\pm2,\dots$$

• 暗纹条件：

$$\delta = \left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda,\qquad k=0,\pm1,\pm2,\dots$$

三、条纹间距

相邻明纹或暗纹间距为：

$$\Delta x = \frac{D\lambda}{d}$$

中央明纹对应 $x=0$。

四、Lloyd 镜中的半波损失

Lloyd 镜实验中，一束光为直接光，另一束光为反射光。由于光从光疏介质射向光密介质反射时会产生半波损失，因此即使几何光程差为零，中央处也可能出现暗纹。

若计入半波损失，则总光程差可写为：

$$\delta = r_2-r_1+\frac{\lambda}{2}$$

故干涉条件变为：

$$\delta= \begin{cases} k\lambda, & \text{明纹} \\ (2k+1)\dfrac{\lambda}{2}, & \text{暗纹} \end{cases} \qquad k=0,1,2,\dots$$

§4 时间相干性

一、光的非单色性

• 理想单色光：只有单一频率。
• 准单色光：频率集中在某一中心频率附近，具有有限谱线宽度。

若中心波长为 $\lambda$，谱线宽度为 $\Delta\lambda$，则反映了光的非单色性。

二、相干时间与相干长度

• 相干时间：光波保持稳定相位关系的典型时间尺度。
• 相干长度：对应的传播距离，常记为

$$l_c = c\tau_c$$

一般地，谱线越窄，相干长度越长。

你原文这里的

$$\delta m = km\lambda = \frac{2L}{\Delta\lambda}$$

记号和意义都不够清楚，保留反而容易误导，所以改成了更稳妥的概念表述。

§5 薄膜干涉（一）——等厚干涉

一、半波损失

当光从折射率较小的介质射向折射率较大的介质并发生反射时，会产生半波损失，即附加相位差 $\pi$，等效附加光程差为 $\lambda/2$。

二、劈尖干涉（反射光）

设薄膜折射率为 $n$，厚度为 $e$，垂直入射时反射光的光程差为：

$$\delta = 2ne+\frac{\lambda}{2}$$

则：

• 明纹条件：

$$2ne+\frac{\lambda}{2}=k\lambda$$

• 暗纹条件：

$$2ne+\frac{\lambda}{2}=\left(k+\frac{1}{2}\right)\lambda$$

等价地，暗纹条件也可写为：

$$2ne=k\lambda$$

相邻条纹对应的厚度差为：

$$\Delta e=\frac{\lambda}{2n}$$

若劈尖角为 $\theta$，则条纹间距约为：

$$L=\frac{\Delta e}{\theta}=\frac{\lambda}{2n\theta}$$

三、牛顿环

对反射光，光程差为：

$$\delta = 2e+\frac{\lambda}{2}$$

若透镜曲率半径为 $R$，环半径为 $r$，薄膜厚度与半径近似满足：

$$r^2 \approx 2Re$$

因此可进一步求出各级明暗环半径。

四、迈克尔逊干涉仪

当可动镜移动 $\Delta d$ 时，光程差变化为 $2\Delta d$。若干涉条纹移动了 $N$ 条，则有：

$$2\Delta d = N\lambda$$

即：

$$\Delta d = N\frac{\lambda}{2}$$

用途包括：

• 测微小位移
• 测波长
• 测折射率

§6 薄膜干涉（二）——等倾干涉

等倾干涉中，同一条纹对应相同的入射角（或出射角），常形成同心圆环。

应用实例：

• 肥皂泡彩纹
• 玻璃表面水膜彩纹
• 增透膜、增反膜

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第 14 章 光的衍射

§1 衍射现象与惠更斯—菲涅耳原理

一、光的衍射

衍射：光在传播过程中绕过障碍物边缘或通过小孔后，偏离几何直线传播的现象。

二、分类

• 菲涅耳衍射（近场衍射）
• 夫琅禾费衍射（远场衍射）

夫琅禾费衍射通常对应平行光入射，或借助透镜在焦平面上观察。

§2 单缝的夫琅禾费衍射

设单缝宽度为 $a$，衍射角为 $\theta$。

一、暗纹条件

单缝衍射暗纹条件为：

$$a\sin\theta = k\lambda,\qquad k=\pm1,\pm2,\pm3,\dots$$

中央明纹中心对应：

$$\theta=0$$

二、中央明纹宽度

若透镜焦距为 $f$，则中央明纹宽度近似为：

$$\Delta x_0 = \frac{2f\lambda}{a}$$

在小角近似下，其余相邻暗纹间距近似为：

$$\frac{f\lambda}{a}$$

因此中央明纹宽度约为旁侧明纹的两倍。

三、强度分布

单缝夫琅禾费衍射的强度分布为：

$$I = I_0\left(\frac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2$$

其中

$$\alpha = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$

于是：

• $\alpha=0$ 时，中央主极大；
• $\alpha=k\pi$ 时，对应暗纹；
• 次极大位置由方程

$$\alpha=\tan\alpha$$

确定。

四、补充理解

• 当 $\lambda/a$ 越大，衍射越明显。
• 当 $a\gg\lambda$ 时，衍射效应弱，趋近于几何光学结果。

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