总体框架

分支	核心研究对象	典型内容
运动学	描述运动	位矢、速度、加速度
动力学	研究运动与力的关系	牛顿定律、动量定理、动能定理
静力学	研究平衡条件	质点平衡、刚体平衡
刚体力学	刚体的平动与转动	力矩、转动定理、角动量

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第一章 质点的运动规律

一、描述运动的基本物理量

1. 线参量

用于描述平动：

• 位置矢量 $\vec r$
• 位移 $\Delta \vec r$
• 路程 $s$
• 速度 $\vec v$
• 加速度 $\vec a$

2. 角参量

用于描述转动：

• 角位移 $\theta$
• 角速度 $\omega$
• 角加速度 $\beta$

线量与角量之间的关系：

$$v=\omega r$$

对于矢量形式：

$$\vec v=\vec \omega \times \vec r$$

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二、矢量函数的导数

设矢量函数

$$\vec A(t)=A(t)\,\vec e$$

其中 $A(t)=|\vec A(t)|$，$\vec e$ 为方向单位矢量，则

$$\frac{d\vec A}{dt} = \frac{dA}{dt}\vec e + A\frac{d\vec e}{dt}$$

这说明：矢量的导数由两部分组成：

• 大小的变化率；
• 方向的变化率。

应用：匀速圆周运动

匀速圆周运动中，速率不变，但速度方向不断变化，因此

$$\frac{d|\vec v|}{dt}=0$$

于是

$$\frac{d\vec v}{dt} = v\frac{d\vec e_t}{dt}$$

加速度只来源于方向变化，因此为法向加速度（向心加速度）：

$$a_n=\frac{v^2}{R}$$

方向始终指向圆心。

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三、位置矢量、运动方程与轨道方程

1. 位置矢量

由坐标原点指向质点所在位置的矢量：

$$\vec r = x\vec i+y\vec j+z\vec k$$

2. 运动方程

位置矢量随时间变化的函数：

$$\vec r(t)=x(t)\vec i+y(t)\vec j+z(t)\vec k$$

3. 轨道方程

由运动方程中消去时间参量 $t$ 得到，仅描述轨迹形状。

例如：

$$x=R\cos(\omega t),\qquad y=R\sin(\omega t)$$

则运动方程为

$$\vec r(t)=R\cos(\omega t)\vec i+R\sin(\omega t)\vec j$$

消去 $t$ 得轨道方程：

$$x^2+y^2=R^2$$

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四、速度与速率

1. 平均速度与平均速率

平均速度：

$$\bar{\vec v}=\frac{\Delta \vec r}{\Delta t}$$

平均速率：

$$\bar v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$$

2. 瞬时速度与瞬时速率

瞬时速度：

$$\vec v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec r}{\Delta t} =\frac{d\vec r}{dt}$$

瞬时速率：

$$v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t} =\frac{ds}{dt}$$

并且

$$v=|\vec v|$$

注意：
一般情况下，

$$v\neq \frac{d|\vec r|}{dt}$$

因为 $|\vec r|$ 表示质点到原点的距离，而 $ds$ 表示实际轨迹上的弧长元。

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五、加速度

平均加速度：

$$\bar{\vec a}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}$$

瞬时加速度：

$$\vec a=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta \vec v}{\Delta t} =\frac{d\vec v}{dt} =\frac{d^2\vec r}{dt^2}$$

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六、自然坐标系中的速度与加速度

在自然坐标系中，速度沿切线方向：

$$\vec v=v\vec e_t$$

对时间求导：

$$\vec a=\frac{d\vec v}{dt} = \frac{dv}{dt}\vec e_t+v\frac{d\vec e_t}{dt}$$

由于

$$\frac{d\vec e_t}{dt}=\frac{v}{R}\vec e_n$$

故加速度可写为

$$\vec a=\frac{dv}{dt}\vec e_t+\frac{v^2}{R}\vec e_n$$

即：

• 切向加速度

$$a_t=\frac{dv}{dt}$$

• 法向加速度

$$a_n=\frac{v^2}{R}$$

其中 $R$ 为曲率半径。

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七、相对运动

若 A 相对 C 的位矢为 $\vec r_{AC}$，则

$$\vec r_{AC}=\vec r_{AB}+\vec r_{BC}$$

同理，在平动参考系之间：

$$\vec v_{AC}=\vec v_{AB}+\vec v_{BC}$$ $$\vec a_{AC}=\vec a_{AB}+\vec a_{BC}$$

注意：以上简单叠加形式适用于参考系之间只有平动而无转动的情况。
若参考系发生转动，则速度、加速度关系需要额外考虑牵连项和科里奥利项。

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第二章 质点动力学

一、牛顿运动定律

1. 牛顿第一定律

若物体所受合力为零，则保持静止或匀速直线运动状态。

2. 牛顿第二定律

$$\vec F = m\vec a$$

3. 牛顿第三定律

作用力与反作用力大小相等、方向相反、作用在不同物体上。

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二、变加速运动的常见处理方法

1. 当加速度表示为 $a(t)$ 时

$$a=\frac{dv}{dt} \quad\Rightarrow\quad dv=a(t)\,dt$$

2. 当加速度表示为 $a(x)$ 时

由

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}$$

得

$$v\,dv=a(x)\,dx$$

3. 当加速度表示为 $a(v)$ 时

$$a(v)=\frac{dv}{dt}$$

可分离变量后求解。

例：阻力与速度成正比

若

$$a=\frac{dv}{dt}=-kv,\qquad v(0)=v_0$$

则

$$\frac{dv}{v}=-k\,dt$$

积分得

$$\ln\frac{v}{v_0}=-kt$$

所以

$$v=v_0e^{-kt}$$

再由

$$\frac{dx}{dt}=v_0e^{-kt}$$

可得运动方程：

$$x=x_0+\frac{v_0}{k}\left(1-e^{-kt}\right)$$

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三、抛体运动中的曲率半径

对于斜抛运动，重力加速度恒为 $\vec g$ 向下。若把加速度分解为切向与法向分量，则曲率半径满足：

$$\rho=\frac{v^2}{a_n}$$

在最高点处，速度水平，法向加速度等于 $g$，因此：

$$\rho_{\min}=\frac{v^2}{g}$$

其中 $v=v_0\cos\theta$。

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四、非惯性系与惯性力

• 惯性系：牛顿定律可直接成立的参考系。
• 非惯性系：相对惯性系有加速度或转动的参考系。

在非惯性系中，为保持牛顿第二定律形式，需要引入惯性力。

常见惯性力

1. 平动惯性力
2. 离心惯性力
3. 科里奥利力

其中科里奥利力形式为：

$$\vec F_c=-2m\vec \omega\times \vec v_r$$

这里：

• $\vec\omega$ 为参考系角速度；
• $\vec v_r$ 为物体相对转动参考系的速度。

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第三章 动量定理与动量守恒

一、动量与冲量

质点动量定义为：

$$\vec p=m\vec v$$

力的冲量为：

$$\vec I=\int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt$$

由牛顿第二定律可得动量定理：

$$\vec I=\Delta \vec p$$

即

$$\int_{t_1}^{t_2}\vec F\,dt=\vec p_2-\vec p_1$$

注意：动量定理必须在惯性系中使用。

二、质点系的动量守恒

若系统所受合外力为零，则系统总动量守恒：

$$\vec P=\sum_i \vec p_i=\text{常量}$$

即

$$\vec P_{\text{初}}=\vec P_{\text{末}}$$

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三、火箭飞行公式

设火箭质量为 $m$，相对火箭喷出气体速度为 $u$，忽略空气阻力时，火箭方程为：

$$m\,dv=-u\,dm$$

积分得：

$$v-v_0=u\ln\frac{m_0}{m}$$

若再考虑重力，则竖直上升时有

$$v=u\ln\frac{m_0}{m}-gt$$

这就是齐奥尔科夫斯基火箭公式。

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第四章 功和能

一、功

元功定义为：

$$dA=\vec F\cdot d\vec l$$

总功为：

$$A=\int \vec F\cdot d\vec l$$

在直角坐标系下：

$$A=\int (F_x\,dx+F_y\,dy+F_z\,dz)$$

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二、功率

瞬时功率为：

$$P=\frac{dA}{dt}=\vec F\cdot \vec v$$

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三、动能定理

由

$$\vec F=m\vec a$$

并结合

$$\vec a=\frac{d\vec v}{dt}$$

可推出

$$A=\Delta E_k$$

其中质点动能为：

$$E_k=\frac{1}{2}mv^2$$

故动能定理写作：

$$A=\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$$

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四、保守力与势能

1. 重力

重力做功与路径无关，因此是保守力。

若取某参考面为零势能面，则重力势能为：

$$E_p=mgh$$

2. 弹力

弹簧弹力：

$$\vec F=-kx\,\vec i$$

弹力做功：

$$A=\int_{x_1}^{x_2}(-kx)\,dx = -\frac{1}{2}kx_2^2+\frac{1}{2}kx_1^2$$

因此弹性势能为：

$$E_p=\frac{1}{2}kx^2$$

3. 万有引力

万有引力大小为：

$$F=\frac{GMm}{r^2}$$

方向沿径向指向中心，因此引力势能为：

$$E_p=-\frac{GMm}{r}$$

通常规定无穷远处势能为零。

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五、势能与力的关系

保守力满足：

$$dE_p=-\vec F\cdot d\vec l$$

因此

$$\vec F=-\nabla E_p$$

在直角坐标系中：

$$\begin{cases} F_x=-\dfrac{\partial E_p}{\partial x} \\ F_y=-\dfrac{\partial E_p}{\partial y} \\ F_z=-\dfrac{\partial E_p}{\partial z} \end{cases}$$

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六、机械能守恒定律

若系统只有保守力做功，则机械能守恒：

$$E_k+E_p=\text{常量}$$

即

$$E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}$$

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第五章 刚体力学基础

一、角位移、角速度、角加速度

角位移：

$$\Delta\theta=\theta(t+\Delta t)-\theta(t)$$

角速度：

$$\omega=\frac{d\theta}{dt}$$

角加速度：

$$\beta=\frac{d\omega}{dt} =\frac{d^2\theta}{dt^2}$$

角速度和角加速度方向由右手定则确定。

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二、线量与角量的关系

对绕定轴转动的刚体：

$$v=\omega r$$ $$a_t=r\beta$$ $$a_n=r\omega^2$$

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三、力矩与转动定律

力矩定义为：

$$\vec M=\vec r\times \vec F$$

对定轴转动，力矩大小为：

$$M=Fr\sin\theta$$

刚体绕定轴转动定律：

$$M=I\beta$$

其中 $I$ 为转动惯量。

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四、转动惯量

离散质点系：

$$I=\sum_i m_i r_i^2$$

连续分布刚体：

$$I=\int r^2\,dm$$

常见转动惯量

1. 细棒绕中点垂直棒轴：

$$I=\frac{1}{12}ml^2$$

2. 细棒绕端点垂直棒轴：

$$I=\frac{1}{3}ml^2$$

3. 均匀圆盘绕中心轴：

$$I=\frac{1}{2}mR^2$$

4. 均匀实心球绕直径：

$$I=\frac{2}{5}mR^2$$

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五、刚体的转动动能

刚体绕定轴转动时的动能为：

$$E_k=\frac{1}{2}I\omega^2$$

注意：
刚体的转动动能不能简单看成“把全部质量集中在某一点”的质点动能。

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六、角动量

质点对某点的角动量为：

$$\vec L=\vec r\times \vec p$$

刚体绕定轴转动时：

$$\vec L=I\vec\omega$$

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七、角动量定理与角动量守恒

角动量定理：

$$\vec M=\frac{d\vec L}{dt}$$

冲量矩形式：

$$\int \vec M\,dt=\Delta \vec L$$

若合外力矩为零，则角动量守恒：

$$\vec L=\text{常量}$$

角动量守恒定律同样只适用于惯性系。

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八、刚体平面运动

刚体平面运动可视为：

• 质心的平动；
• 绕质心的转动。

因此分析时通常写出两组方程：

1. 平动方程

$$\sum \vec F = m\vec a_C$$

2. 转动方程

$$\sum M_C = I_C \beta$$

其中 $C$ 为质心。

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第六章 振动学基础

一、简谐振动的基本形式

简谐振动方程：

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

其中：

• $A$ 为振幅；
• $\omega$ 为角频率；
• $\varphi$ 为初相。

周期与频率关系：

$$\nu=\frac{1}{T}$$ $$\omega=2\pi \nu=\frac{2\pi}{T}$$

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二、速度与加速度

由

$$x=A\cos(\omega t+\varphi)$$

可得速度：

$$v=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)$$

加速度：

$$a=\frac{dv}{dt}=-\omega^2 A\cos(\omega t+\varphi)$$

即

$$a=-\omega^2 x$$

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三、由初始条件确定振动方程

若 $t=0$ 时，

$$x(0)=x_0,\qquad v(0)=v_0$$

则

$$x_0=A\cos\varphi$$ $$v_0=-A\omega\sin\varphi$$

从而

$$A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega^2}}$$

并有

$$\tan\varphi=-\frac{v_0}{\omega x_0}$$

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四、弹簧振子的动力学方程

由胡克定律：

$$F=-kx$$

结合牛顿第二定律：

$$m\frac{d^2x}{dt^2}=-kx$$

得到简谐振动微分方程：

$$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{k}{m}x=0$$

写成标准形式：

$$\ddot x+\omega^2 x=0$$

其中

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$$

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五、单摆

单摆动力学方程为：

$$mL\ddot\theta=-mg\sin\theta$$

即

$$\ddot\theta+\frac{g}{L}\sin\theta=0$$

这不是严格的简谐振动方程。

当摆角很小时，采用近似

$$\sin\theta\approx\theta$$

于是得到：

$$\ddot\theta+\frac{g}{L}\theta=0$$

这时单摆近似作简谐振动，其角频率为：

$$\omega=\sqrt{\frac{g}{L}}$$

周期为：

$$T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$

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六、补充说明

• 简谐振动的判据不是“来回运动”，而是回复力满足与位移成正比且方向相反。
• 单摆只有在小角度条件下才可视为简谐振动。
• 浮摆可看作单摆的推广情形，但具体模型需结合题目条件分析。

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