本部分主要包括：

• 热学
• 电磁学
• 量子力学（本笔记中尚未展开）

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第七章 统计物理初步

统计物理主要从微观角度出发，借助概率论和统计方法研究大量分子的整体规律。
热力学则从宏观角度出发，研究系统状态及其变化规律。

§1 基本概念

一、热力学系统

按系统与外界交换情况分类：

• 孤立系统：与外界既无能量交换，也无物质交换。
• 封闭系统：可与外界交换能量，但不能交换物质。
• 开放系统：可与外界交换能量和物质。

二、理想气体的定义

理想气体是满足下列条件的理想化模型：

1. 宏观上满足理想气体实验定律

• 等压过程：

$$\frac{V}{T}=\text{const}$$

• 等容过程：

$$\frac{P}{T}=\text{const}$$

• 等温过程：

$$PV=\text{const}$$

• 阿伏伽德罗定律：

$$N_A=6.02\times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$$

其中：

• 等压过程对应盖—吕萨克定律；
• 等容过程对应查理定律；
• 等温过程对应玻意耳定律。

2. 宏观适用条件

理想气体模型通常适用于：

• 压强不太大；
• 温度不太低；
• 数密度不太高。

否则分子间相互作用不能忽略，气体可能偏离理想状态甚至液化。

3. 微观模型

理想气体分子满足：

• 分子本身体积可忽略，可视为质点；
• 分子间除碰撞瞬间外无相互作用；
• 分子碰撞及与器壁碰撞均为完全弹性碰撞。

三、状态方程

理想气体状态方程为：

$$PV=\nu RT$$

其中：

• $\nu$ 为物质的量；
• $R$ 为气体常量。

又因为

$$\nu=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}$$

故也可写为：

$$PV=\frac{M}{M_{\mathrm{mol}}}RT$$

若用分子总数 $N$ 表示，则：

$$PV=NkT$$

其中

$$k=\frac{R}{N_A}$$

为玻尔兹曼常量。

若定义数密度

$$n=\frac{N}{V}$$

则：

$$P=nkT$$

四、范德瓦耳斯方程

实际气体偏离理想气体的主要原因有：

1. 分子间存在吸引力；
2. 分子本身占有体积。

因此，对理想气体方程进行修正可得范德瓦耳斯方程：

$$\left(P+\frac{a}{V^2}\right)(V-b)=RT$$

其中：

• $\dfrac{a}{V^2}$ 用来修正分子间吸引力的影响；
• $b$ 用来修正分子自身占据体积的影响。

注意：这里默认是 1 mol 气体的写法。

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§2 理想气体的压强和温度

一、理想气体的微观模型

对单个分子的假设：

• 分子可视为质点；
• 分子间除碰撞外无相互作用；
• 碰撞满足动量守恒与动能守恒；
• 分子遵循牛顿力学规律。

二、大量分子的统计假设

统计规律具有如下特点：

• 只对大量随机事件才有意义；
• 反映整体规律而非个体轨迹；
• 统计结果总伴随一定波动和偏差。

对于大量气体分子，通常作如下统计假设：

1. 分子在容器内均匀分布：

$$n=\frac{N}{V}$$

2. 分子速度方向均匀分布，因此：

$$\overline{v_x}=\overline{v_y}=\overline{v_z}=0$$ $$\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2} =\frac{1}{3}\overline{v^2}$$

三、理想气体压强公式

由分子运动论可得：

$$P=\frac{1}{3}\frac{N}{V}m\overline{v^2}$$

也可写为：

$$P=\frac{1}{3}nm\overline{v^2}$$

设单个分子的平均平动动能为

$$\overline{E_k}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}$$

则压强公式可写为：

$$P=\frac{2}{3}n\overline{E_k}$$

四、温度的统计意义

由

$$P=nkT$$

和

$$P=\frac{2}{3}n\overline{E_k}$$

联立可得：

$$\overline{E_k}=\frac{3}{2}kT$$

这表明：

1. 温度反映了分子热运动的剧烈程度；
2. 理想气体分子的平均平动动能只与温度有关；
3. 温度是系统的宏观状态量。

五、混合气体与 Dalton 分压定律

混合气体总压强等于各组分气体分压之和：

$$P=\sum_i P_i$$

这就是 Dalton 分压定律。

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§3 能量按自由度均分定理

一、自由度

自由度指确定物体空间运动状态所需的独立坐标数。

常见刚性分子的自由度：

• 单原子分子：3 个平动自由度；
• 双原子刚性分子：3 个平动自由度 + 2 个转动自由度，共 5 个；
• 多原子刚性分子：3 个平动自由度 + 3 个转动自由度，共 6 个。

二、能量按自由度均分定理

在经典统计条件下，系统每个自由度对应的平均能量为：

$$\frac{1}{2}kT$$

例如平动三个方向上分别有：

$$\frac{1}{2}m\overline{v_x^2} = \frac{1}{2}m\overline{v_y^2} = \frac{1}{2}m\overline{v_z^2} = \frac{1}{2}kT$$

若一个分子共有 $i$ 个自由度，则其平均能量为：

$$\overline{E}=\frac{i}{2}kT$$

注意：这一定理在高温经典条件下、且振动自由度可以充分激发时才适用。你的原稿里也提到“只有刚性才是能量按自由度均分”，这一点比原式子更重要。

三、理想气体的内能

理想气体内能只取决于温度。若气体共有 $N$ 个分子，每个分子自由度为 $i$，则：

$$U=N\cdot \frac{i}{2}kT$$

又因为 $Nk=\nu R$，所以：

$$U=\nu\frac{i}{2}RT$$

利用理想气体方程还可写为：

$$U=\frac{i}{2}PV$$

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§4 麦克斯韦速率分布律

理想气体分子的速率分布函数为：

$$f(v)=4\pi \left(\frac{m}{2\pi kT}\right)^{3/2}v^2e^{-\frac{mv^2}{2kT}}$$

其意义是：

$$f(v)\,dv$$

表示分子速率处于区间 $[v,v+dv]$ 内的概率。

归一化条件：

$$\int_0^{+\infty} f(v)\,dv=1$$

一、最概然速率

使 $f(v)$ 取得最大值的速率称为最概然速率：

$$v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}}$$

二、平均速率

平均速率定义为：

$$\bar v=\int_0^{+\infty}v f(v)\,dv$$

结果为：

$$\bar v=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$$

三、方均根速率

由

$$\overline{v^2}=\int_0^{+\infty}v^2 f(v)\,dv$$

可得方均根速率：

$$v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}$$

若用摩尔质量 $M$ 表示，则三种速率可写为：

$$v_p=\sqrt{\frac{2RT}{M}}$$ $$\bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$$ $$v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

并有大小规律：

$$v_p<\bar v<v_{\mathrm{rms}}$$

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§5 平均自由程

分子在两次碰撞之间所经过路程的平均值，称为平均自由程，记为 $\lambda$。

对于直径为 $d$、数密度为 $n$ 的理想气体，有：

$$\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}$$

由 $P=nkT$ 可得：

$$\lambda=\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2 P}$$

可见：

• 温度升高，平均自由程增大；
• 压强增大，平均自由程减小。

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第八章 热力学

§1 基本概念

一、内能

理想气体内能为：

$$U=\nu \frac{i}{2}RT=\frac{i}{2}PV$$

它是状态单值函数，只与系统状态有关。

二、功和热

• 功：系统与外界通过宏观机械作用传递的能量；
• 热量：系统与外界由于温度差而传递的能量。

三、准静态过程

准静态过程指系统经历一系列无限接近平衡态的过程。

它是理想化过程，便于计算，但不一定可逆。

四、准静态过程中功的计算

设气体压强为 $p$，体积变化为 $dV$，则元功为：

$$dA=p\,dV$$

总功为：

$$A=\int_{V_1}^{V_2}p\,dV$$

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§2 热力学第一定律及其应用

热力学第一定律：

$$Q=\Delta U+A$$

微分形式为：

$$dQ=dU+dA$$

对于理想气体，

$$dU=\nu \frac{i}{2}R\,dT$$

而

$$dA=p\,dV$$

因此：

$$dQ=\nu \frac{i}{2}R\,dT+p\,dV$$

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§3 摩尔热容

摩尔热容定义为：1 mol 物质温度升高 $1\,\mathrm{K}$ 所吸收的热量。

一、定容摩尔热容

在定容过程中，$dV=0$，所以 $dA=0$，由第一定律：

$$dQ_V=dU$$

因此：

$$C_V=\left(\frac{dQ}{dT}\right)_V=\frac{i}{2}R$$

对于单原子理想气体：

$$C_V=\frac{3}{2}R$$

二、定压摩尔热容

在定压过程中：

$$dQ_P=dU+p\,dV$$

利用理想气体状态方程可得：

$$C_P=C_V+R$$

这就是 Mayer 公式。

对单原子理想气体：

$$C_P=\frac{5}{2}R$$

三、热容比

定义：

$$\gamma=\frac{C_P}{C_V}$$

对于自由度为 $i$ 的理想气体：

$$\gamma=1+\frac{2}{i}$$

常见情况：

• 单原子气体：$\gamma\approx 1.67$
• 双原子气体：$\gamma\approx 1.40$
• 多原子气体：$\gamma\approx 1.33$

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§4 几种典型热力学过程

一、等温过程

理想气体等温过程满足：

$$PV=\text{const}$$

气体做功：

$$A=\int_{V_1}^{V_2}p\,dV =\int_{V_1}^{V_2}\frac{\nu RT}{V}\,dV =\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1}$$

由于理想气体内能只与温度有关，而温度不变，所以：

$$\Delta U=0$$

故：

$$Q=A$$

二、等压过程

等压过程满足：

$$P=\text{const}$$

做功为：

$$A=P(V_2-V_1)$$

三、等容过程

等容过程满足：

$$V=\text{const}$$

所以：

$$A=0$$

故：

$$Q=\Delta U$$

四、绝热过程

绝热过程满足：

$$Q=0$$

因此：

$$A=-\Delta U$$

理想气体可逆绝热过程满足：

$$PV^\gamma=\text{const}$$

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§5 多方过程

若某过程满足：

$$PV^n=\text{const}$$

则称为多方过程。

几种典型情形：

• $n=0$：等压过程
• $n=1$：等温过程
• $n=\gamma$：绝热过程
• $n\to\infty$：等容过程

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§6 热力学第二定律

一、两种经典表述

1. 开尔文表述

不可能从单一热源吸热并使其全部转化为功而不产生其他影响。

2. 克劳修斯表述

热量不可能自发地从低温物体传到高温物体。

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§7 可逆过程与不可逆过程

一、不可逆过程

若一个过程发生后，不可能使系统和外界都完全恢复原状而不留下任何影响，则称为不可逆过程。

常见不可逆过程有：

• 气体向真空自由膨胀；
• 有摩擦的过程；
• 有有限温差传热的过程；
• 非准静态过程。

二、可逆过程

若系统经历某一过程后，可以沿相反方向恢复到原来状态，同时外界也完全恢复，则称为可逆过程。

可逆过程一定是理想化过程，通常要求：

• 准静态；
• 无耗散。

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§8 熵与熵增加原理

一、熵的定义

对于可逆过程，有：

$$dS=\frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}$$

故从状态 1 到状态 2 的熵变为：

$$S_2-S_1=\int_1^2 \frac{\delta Q_{\mathrm{rev}}}{T}$$

熵是状态函数。

二、熵增加原理

对于不可逆过程：

$$\Delta S>\int_1^2 \frac{\delta Q}{T}$$

对于可逆过程：

$$\Delta S=\int_1^2 \frac{\delta Q}{T}$$

特别地，对孤立系统：

• 可逆过程：

$$\Delta S=0$$

• 不可逆过程：

$$\Delta S>0$$

这就是熵增加原理。

三、热力学第二定律的统计意义

玻尔兹曼公式：

$$S=k\ln \Omega$$

其中：

• $S$ 为熵；
• $k$ 为玻尔兹曼常量；
• $\Omega$ 为对应宏观态的热力学概率。

宏观上，系统总是朝着热力学概率更大的状态演化，因此平衡态通常对应熵较大状态。

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第十章 静电学

§1 电场的描述

一、电场强度

1. 点电荷的场强

真空中点电荷 $Q$ 在空间某点产生的电场强度为：

$$\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^3}\vec r$$

其中：

• $\vec r$ 为从源点电荷指向场点的位矢；
• $r=|\vec r|$。

2. 多个点电荷的场强叠加

$$\vec E=\sum_i \vec E_i =\sum_i \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_i}{r_i^3}\vec r_i$$

3. 连续分布电荷的场强

$$\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int \frac{\vec r}{r^3}\,dq$$

其中：

• 体电荷分布：$dq=\rho\,dV$
• 面电荷分布：$dq=\sigma\,dS$
• 线电荷分布：$dq=\lambda\,dl$

二、电荷在外场中所受的力

点电荷在电场中受力：

$$\vec F=q\vec E$$

带电体受力可写为：

$$\vec F=\int \vec E\,dq$$

若带电体尺寸不可忽略，还可能受到力矩作用。

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§2 电偶极子

一、电偶极矩

由等量异号点电荷 $\pm q$ 构成的体系称为电偶极子。其电偶极矩定义为：

$$\vec p=q\vec l$$

方向由负电荷指向正电荷。

二、远场近似下的电势与场强

当场点距离远大于偶极子尺度时，可视为点偶极子。

1. 轴线上场强

$$E_{\text{轴}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2p}{r^3}$$

2. 中垂线上场强

$$E_{\text{垂}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{p}{r^3}$$

方向与偶极矩方向相反。

你原稿里把轴线与中垂线公式都写出来了，但中间推导写得不太稳定。保留结论更合适。

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§3 典型带电体的场强

一、均匀带电细杆

对线电荷密度为 $\lambda$ 的细杆，可通过积分求得任意场点场强。特殊情况下：

• 当场点远离细杆时，可近似看作点电荷；
• 当细杆无限长时：

$$E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$$

二、均匀带电圆环轴线上场强

总电荷为 $Q$、半径为 $R$ 的均匀带电圆环，在轴线上距离圆心 $x$ 处的场强为：

$$E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qx}{(x^2+R^2)^{3/2}}$$

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§4 高斯定理

一、电通量

通过曲面元 $dS$ 的电通量定义为：

$$d\Phi_e=\vec E\cdot d\vec S =E\,dS\cos\theta$$

对于闭合曲面，规定向外穿出为正。

二、静电场的高斯定理

任意闭合曲面的总电通量满足：

$$\oint_S \vec E\cdot d\vec S=\frac{q_{\text{内}}}{\varepsilon_0}$$

其中 $q_{\text{内}}$ 为闭合曲面所包围的总电荷。

三、高斯定理的微分形式

由散度定理可得：

$$\oint_S \vec E\cdot d\vec S = \iiint_V (\nabla\cdot \vec E)\,dV = \frac{1}{\varepsilon_0}\iiint_V \rho\,dV$$

因此：

$$\nabla\cdot \vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

四、利用高斯定理求场强的典型结果

1. 均匀带电球壳

总电荷为 $Q$，半径为 $R$：

$$E= \begin{cases} 0, & r<R \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & r>R \end{cases}$$

在表面处场强发生跃变。

2. 均匀带电实心球

体电荷密度为 $\rho$，半径为 $R$：

$$E= \begin{cases} \dfrac{\rho r}{3\varepsilon_0}, & r\le R \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}, & r>R \end{cases}$$

3. 无限长均匀带电圆柱面

线电荷密度为 $\lambda$：

$$E= \begin{cases} 0, & r<R \\ \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}, & r>R \end{cases}$$

4. 无限大均匀带电平面

面电荷密度为 $\sigma$：

$$E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$$

若两块异号无限平行板构成平行板电容器，则板间场强为：

$$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

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§5 静电场的环路定理

一、电场的环量

沿闭合回路 $L$ 的电场线积分称为电场的环量：

$$\oint_L \vec E\cdot d\vec l$$

二、环路定理

静电场满足：

$$\oint_L \vec E\cdot d\vec l=0$$

这说明静电场是保守场。

三、微分形式

由 Stokes 定理可得：

$$\oint_L \vec E\cdot d\vec l = \iint_S (\nabla\times \vec E)\cdot d\vec S =0$$

故：

$$\nabla\times \vec E=0$$

即静电场是无旋场。

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§6 电势

一、电势差

由静电场力做功定义电势差：

$$U_a-U_b=\int_a^b \vec E\cdot d\vec l$$

也常写作：

$$\varphi_a-\varphi_b=\int_a^b \vec E\cdot d\vec l$$

若取无穷远处为零势点，则点 $a$ 处电势为：

$$\varphi_a=-\int_\infty^a \vec E\cdot d\vec l$$

二、点电荷的电势

点电荷 $Q$ 在距离 $r$ 处产生的电势：

$$\varphi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r}$$

多个点电荷的电势满足代数叠加：

$$\varphi=\sum_i \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_i}{r_i}$$

三、电场强度与电势的关系

$$\vec E=-\nabla \varphi$$

在直角坐标系中：

$$\begin{cases} E_x=-\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} \\ E_y=-\dfrac{\partial \varphi}{\partial y} \\ E_z=-\dfrac{\partial \varphi}{\partial z} \end{cases}$$

这说明：先求电势这个标量场，再求梯度，可得到电场强度。

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§7 静电平衡导体

一、静电平衡条件

导体处于静电平衡时：

1. 导体内部场强处处为零；
2. 导体是等势体；
3. 导体表面是等势面。

二、导体表面附近场强

设导体表面面电荷密度为 $\sigma$，则导体表面外侧附近的场强大小为：

$$E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$$

方向沿表面法线方向。

三、导体内部无净电荷

静电平衡时，多余电荷只能分布在导体表面。

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第十一章 稳恒磁场

§1 基本概念

一、电流密度

电流定义为：

$$I=\frac{dq}{dt}$$

电流密度矢量定义为：

$$\vec j=nq\vec v$$

其中：

• $n$ 为单位体积载流子数；
• $q$ 为单个载流子电量；
• $\vec v$ 为定向移动速度。

通过某截面的总电流为：

$$I=\iint_S \vec j\cdot d\vec S$$

二、电流连续性方程

由电荷守恒定律可得：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \vec j=0$$

对于稳恒电流：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$

故有：

$$\nabla\cdot \vec j=0$$

积分形式为：

$$\oint_S \vec j\cdot d\vec S=0$$

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§2 磁场与磁感应强度

运动电荷或电流周围存在磁场。

磁场的基本物理量是磁感应强度 $\vec B$，单位为特斯拉（T）。

带电粒子在电磁场中所受力为洛伦兹力：

$$\vec F=q\vec E+q\vec v\times \vec B$$

若只有磁场，则：

$$\vec F=q\vec v\times \vec B$$

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§3 磁通量与磁场的高斯定理

一、磁通量

通过曲面 $S$ 的磁通量定义为：

$$\Phi_m=\iint_S \vec B\cdot d\vec S$$

单位为韦伯（Wb）。

二、磁场的高斯定理

任意闭合曲面的总磁通量恒为零：

$$\oint_S \vec B\cdot d\vec S=0$$

其微分形式为：

$$\nabla\cdot \vec B=0$$

这表明磁场是无源场。

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§4 毕奥—萨伐尔定律

电流元 $I\,d\vec l$ 在场点产生的磁感应强度元为：

$$d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec l\times \hat r}{r^2}$$

其中：

• $\hat r$ 为由电流元指向场点的单位矢量；
• $r$ 为距离。

一、圆电流轴心处磁场

半径为 $R$ 的圆形载流导线，其圆心处磁感应强度为：

$$B=\frac{\mu_0 I}{2R}$$

若为半圆，则：

$$B=\frac{\mu_0 I}{4R}$$

二、平面载流线圈的磁矩

载流线圈的磁矩定义为：

$$\vec p_m=I\vec S$$

方向由右手定则确定。

当观察点距离远大于线圈尺寸时，载流线圈可视为磁偶极子。

三、有限长直电流的磁场

距直导线距离为 $b$ 的场点，有限长直导线产生的磁场大小为：

$$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi b}(\cos\theta_1-\cos\theta_2)$$

特殊情形：

• 无限长直导线：

$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi b}$$

• 半无限长直导线：

$$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi b}$$

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§5 安培环路定理

稳恒磁场中，磁感应强度沿任意闭合回路的线积分满足：

$$\oint_L \vec B\cdot d\vec l=\mu_0 I_{\text{内}}$$

其中 $I_{\text{内}}$ 为闭合回路所围曲面内穿过的总电流代数和。

例如，对无限长直导线：

$$\oint_L \vec B\cdot d\vec l = B\cdot 2\pi r = \mu_0 I$$

由此得：

$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$$

微分形式

由 Stokes 定理可写为：

$$\nabla\times \vec B=\mu_0 \vec j$$

这就是稳恒磁场安培环路定理的微分形式。

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