大学物理期末复习

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1. 量子力学基础

一、de Broglie 关系式

1. 基本关系

$$E = h\nu$$ $$p = \frac{h}{\lambda} \qquad \Rightarrow \qquad \lambda = \frac{h}{p}$$

其中：

• $h$ 为普朗克常量：

$$h = 6.63\times 10^{-34}\ \text{J}\cdot \text{s}$$

• $\hbar$ 为约化普朗克常量：

$$\hbar = \frac{h}{2\pi}$$

补充单位：

$$1\ \text{\AA} = 10^{-10}\ \text{m}$$

2. 物质波

与实物粒子相联系的波称为物质波或 de Broglie 波。

3. 理解

1. 微观粒子具有波粒二象性。
2. 宏观物体的 de Broglie 波长极小，实验上难以观察，因此通常只表现出经典粒子性。
3. 微观粒子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，而是一类具有波粒二象性的量子客体。

注：原稿中“微观粒子在任何特定事件中要么显示波性、要么显示粒子性，两者决不同时出现”这种表述过于绝对，复习笔记里不宜写得太死。

4. 电子波动性的实验证据

• 1927 年，戴维孙—革末实验观察到电子在镍单晶上的衍射现象。
• G. P. 汤姆孙观察到电子穿过多晶薄膜后的衍射图样。

5. de Broglie 关系式的应用

（1）玻尔角动量量子化条件

电子绕核运动一周，若形成稳定驻波，则应满足：

$$2\pi r = n\lambda = n\frac{h}{p}=n\frac{h}{mv}, \qquad n=1,2,\dots$$

即

$$mvr = n\frac{h}{2\pi}=n\hbar$$

这就是玻尔角动量量子化条件。

（2）玻尔轨道半径

由

$$p=\frac{n\hbar}{r}$$

代入总能量公式

$$E=\frac{p^2}{2m}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

得

$$E=\frac{n^2\hbar^2}{2mr^2}-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

由稳定轨道条件

$$\frac{dE}{dr}=0$$

可得

$$r_n=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{me^2}n^2$$

即

$$r_n=r_1n^2$$

其中

$$r_1=0.053\ \text{nm}=0.53\ \text{\AA}$$

（3）一维刚性盒中粒子的能量量子化

设盒长为 $d$，粒子在盒中来回反射形成驻波，则有：

$$2d=n\lambda=n\frac{h}{p}$$

所以

$$p=\frac{nh}{2d}$$

对应动能为：

$$E_k=\frac{p^2}{2m}=\frac{n^2h^2}{8md^2}, \qquad n=1,2,\dots$$

说明盒中粒子的能量是量子化的。

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二、波函数与概率解释

1. 波函数

波函数一般写为：

$$\Psi(x,t)$$

它通常是复函数，可写成“实部 + $i$ × 虚部”的形式。

2. Born 概率解释

Born 假设指出：

$$|\Psi(x,t)|^2 = \Psi(x,t)\Psi^*(x,t)$$

表示粒子在时刻 $t$ 出现在 $x$ 处附近的概率密度。

因此，粒子出现在区间 $x\sim x+dx$ 内的概率为：

$$|\Psi(x,t)|^2 dx$$

3. 自由粒子的平面波

经典平面波可写为：

$$\cos(\omega t-kx)$$

其复数形式为：

$$e^{i(\omega t-kx)}$$

利用

$$E=\hbar\omega,\qquad p=\hbar k$$

自由粒子的波函数可写为：

$$\Psi(x,t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}$$

其概率密度为：

$$|\Psi(x,t)|^2=\text{常数}$$

说明自由粒子在整个空间中出现的概率密度均匀分布。

4. 波函数应满足的条件

波函数通常应满足：

1. 单值；
2. 有限；
3. 连续；
4. 可归一化。

归一化条件为：

$$\int_{\Omega} |\Psi(x,t)|^2 dx = 1$$

其中 $\Omega$ 为全空间。

5. 状态叠加原理

若 $\psi_1,\psi_2,\dots,\psi_n$ 都是薛定谔方程的解，则它们的线性组合仍是解。

若 $\psi_1,\psi_2,\dots,\psi_n$ 表示体系可能的状态，则它们的线性组合也表示体系可能的状态。

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三、不确定关系

1. 位置与动量的不确定性

量子力学中，不能同时精确确定粒子的位置和动量，只能讨论它们的平均值和偏差。

位置与动量满足海森堡不确定关系：

$$\Delta x\,\Delta p_x \ge \frac{\hbar}{2}$$

2. 动量算符

由平面波形式可得：

$$\hat p_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

动量平均值写为：

$$\langle p_x\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} \psi^*(x,t)\,\hat p_x\,\psi(x,t)\,dx$$

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四、薛定谔方程

1. 一维含时薛定谔方程

对自由粒子，

$$\Psi(x,t)=Ae^{\frac{i}{\hbar}(px-Et)}$$

代入可得一维自由粒子的薛定谔方程：

$$i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi(x,t)}{\partial x^2}$$

若粒子处于势场 $U(x,t)$ 中，则有：

$$i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + U(x,t) \right]\psi(x,t)$$

2. 三维含时薛定谔方程

$$i\hbar \frac{\partial \psi(\vec r,t)}{\partial t} = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\vec r,t) \right]\psi(\vec r,t)$$

3. 常用算符

• 能量算符：

$$\hat E = i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$$

• 动量算符：

$$\hat p_x = -i\hbar \frac{\partial}{\partial x}$$

• 坐标算符：

$$\hat x = x$$

4. 哈密顿算符

$$\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + U(\vec r,t)$$

则薛定谔方程可写为：

$$i\hbar \frac{\partial \psi(\vec r,t)}{\partial t} = \hat H \psi(\vec r,t)$$

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五、定态薛定谔方程

当势能与时间无关时，即

$$U = U(x)$$

可采用分离变量法，设

$$\psi(x,t)=\Phi(x)T(t)$$

代入薛定谔方程可得：

$$i\hbar \frac{1}{T}\frac{dT}{dt} = \frac{1}{\Phi}\hat H\Phi = E$$

于是分解为两个方程：

$$i\hbar \frac{dT}{dt}=ET$$ $$\hat H\Phi = E\Phi$$

其中时间因子的解为：

$$T(t)=Ce^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$

空间部分满足的方程

$$\hat H\Phi = E\Phi$$

称为定态薛定谔方程。

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六、势阱中的粒子与一维隧穿

1. 一维无限深势阱

势函数：

$$U(x)= \begin{cases} 0, & 0<x<a \\ \infty, & x\le 0 \ \text{或}\ x\ge a \end{cases}$$

阱内定态薛定谔方程为：

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\Phi}{dx^2}=E\Phi$$

令

$$k^2=\frac{2mE}{\hbar^2}$$

则有：

$$\Phi''(x)+k^2\Phi(x)=0$$

通解为：

$$\Phi(x)=A\cos kx + B\sin kx$$

由边界条件

$$\Phi(0)=0,\qquad \Phi(a)=0$$

得

$$A=0,\qquad \sin ka=0$$

因此：

$$ka=n\pi,\qquad k=\frac{n\pi}{a},\qquad n=1,2,\dots$$

2. 能级

由

$$k^2=\frac{2mE_n}{\hbar^2}$$

得能量本征值：

$$E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}, \qquad n=1,2,\dots$$

说明能量量子化。最低能量为：

$$E_1=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2}>0$$

这就是零点能。

3. 归一化波函数

归一化后：

$$\Phi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}, \qquad n=1,2,\dots$$

对应概率密度为：

$$W_n(x)=|\Phi_n(x)|^2 = \frac{2}{a}\sin^2\frac{n\pi x}{a}$$

4. 一维势垒与隧道效应

当粒子遇到势垒时，即使粒子能量 $E<U_0$，也有一定概率穿透势垒，这就是隧道效应。

透射系数近似为：

$$\Gamma \approx e^{-\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m(U_0-E)}}$$

其中 $a$ 为势垒宽度。

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七、氢原子

1. 势能函数

氢原子中电子所处库仑势场为：

$$U(r)=-\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r}$$

2. 能级

由薛定谔方程解得氢原子能级：

$$E_n= -\frac{me^4}{2\hbar^2(4\pi\varepsilon_0)^2}\cdot \frac{1}{n^2} = -\frac{13.6}{n^2}\ \text{eV}$$

3. 量子数

氢原子定态由三个量子数表征：

• 主量子数 $n=1,2,3,\dots$
• 角量子数 $l=0,1,2,\dots,n-1$
• 磁量子数 $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots,\pm l$

4. 角动量

轨道角动量大小：

$$L=\sqrt{l(l+1)}\,\hbar$$

其 $z$ 分量为：

$$L_z = m\hbar$$

这反映了轨道角动量取向的量子化。

5. 氢原子光谱

氢原子谱线波数满足里德伯公式：

$$\tilde\nu=\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}\right)$$

其中：

$$R=1.097373\times 10^7\ \text{m}^{-1}$$

为里德伯常量。

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八、电子自旋与多电子原子

1. 电子自旋

电子自旋角动量大小为：

$$S=\sqrt{s(s+1)}\,\hbar$$

对电子，

$$s=\frac{1}{2}$$

因此：

$$S=\sqrt{\frac{3}{4}}\,\hbar$$

其 $z$ 分量为：

$$S_z = m_s\hbar, \qquad m_s=\pm \frac{1}{2}$$

2. 多电子原子的量子态

核外电子运动状态由四个量子数决定：

• 主量子数 $n$
• 角量子数 $l$
• 磁量子数 $m$
• 自旋磁量子数 $m_s$

即一个电子的量子态可表示为：

$$(n,l,m,m_s)$$

3. Pauli 不相容原理

一个原子中不能有两个电子具有完全相同的四个量子数。

对于给定主量子数 $n$，可容纳的电子总数为：

$$2\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=2n^2$$

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2. 静磁学

一、基本磁现象

1. 电流密度

$$\vec j = \frac{dI}{dS_\perp}$$

总电流为：

$$I=\int_S \vec j\cdot d\vec S$$

微观表达式：

$$\vec j = nq\vec v$$

2. 电荷守恒定律

积分形式：

$$\frac{\partial}{\partial t}\int_V \rho\, dV = -\oint_S \vec j\cdot d\vec S$$

微分形式：

$$\nabla\cdot \vec j + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$

3. 恒稳电流

恒稳电流满足：

$$\frac{\partial \rho}{\partial t}=0$$

因此：

$$\nabla\cdot \vec j=0$$

其积分形式对应基尔霍夫第一定律。

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二、磁场的高斯定理

$$\oint_S \vec B\cdot d\vec S = 0$$

说明磁场是无源场。

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三、毕奥—萨伐尔定律

对电流元 $I\,d\vec l$，

$$d\vec B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\,d\vec l\times \hat r}{r^2}$$

1. 圆电流中心磁场

半径为 $R$ 的圆电流在圆心处产生的磁感应强度为：

$$B=\frac{\mu_0 I}{2R}$$

若为半圆电流，则：

$$B=\frac{\mu_0 I}{4R}$$

若为四分之一圆电流，则：

$$B=\frac{\mu_0 I}{8R}$$

2. 圆环轴线上磁场

半径为 $R$ 的平面圆线圈，在轴线上距圆心 $z$ 处的磁场为：

$$B= \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{3/2}}$$

3. 磁矩

平面载流线圈的磁矩定义为：

$$\vec p_m = I\vec S$$

当场点距离远大于线圈尺度时，可看作磁偶极子。

4. 有限长直电流的磁场

$$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi b}(\cos\theta_1-\cos\theta_2)$$

特殊情况：

• 无限长直导线：

$$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi b}$$

• 半无限长直导线：

$$B=\frac{\mu_0 I}{4\pi b}$$

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四、安培环路定理

$$\oint_L \vec B\cdot d\vec l = \mu_0 \sum I_i$$

适用于求解具有高度对称性的磁场分布。

1. 长直螺线管

若单位长度匝数为

$$n=\frac{N}{L}$$

则管内磁场：

$$B=\mu_0 nI$$

2. 环形螺线管

$$B=\frac{\mu_0 NI}{2\pi r}$$

3. 无限大均匀载流平面

若表面电流密度为 $j$，则两侧磁场大小为：

$$B=\frac{\mu_0 j}{2}$$

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五、磁力

1. 洛伦兹力

$$\vec f_m = q\vec v\times \vec B$$

2. 安培力

$$d\vec F = I\,d\vec l \times \vec B$$

总安培力：

$$\vec F=\int d\vec F = \int I\,d\vec l \times \vec B$$

3. 载流线圈在均匀磁场中

合力为：

$$\vec F_{\text{合}}=0$$

但一般存在力矩：

$$\vec M = \vec p_m \times \vec B$$

4. 霍尔效应

霍尔电压为：

$$U_H=\frac{1}{ne}\cdot \frac{IB}{b}$$

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六、磁介质与磁场强度

1. 磁介质分类

相对磁导率定义为：

$$\mu_r = \frac{B}{B_0}$$

分类：

• 顺磁质：$\mu_r > 1$
• 抗磁质：$\mu_r < 1$
• 铁磁质：$\mu_r \gg 1$

2. 磁化强度

磁化强度定义为单位体积的总磁矩：

$$\vec M = \frac{\sum \vec p_{mi}}{\Delta V}$$

3. 磁场强度 $H$

在各向同性线性磁介质中：

$$B=\mu_0\mu_r H$$

例如长螺线管中：

$$H=nI$$

4. 有介质时的安培环路定理

$$\oint_L \vec H\cdot d\vec l = \sum I_{\text{传导}}$$

5. 铁磁质特点

1. $\mu_r\gg 1$
2. $B$ 与 $H$ 呈非线性关系
3. 存在磁滞现象
4. 温度高于居里温度后，铁磁质变为顺磁质

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3. 变化的电磁场

一、法拉第电磁感应定律

感应电动势满足：

$$\mathcal E_i = -\frac{d\Phi}{dt}$$

其中负号反映楞次定律。

若考虑多匝线圈，总磁链为：

$$\Psi=\sum_i \Phi_i$$

则有：

$$\mathcal E_i = -\frac{d\Psi}{dt}$$

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二、动生电动势

动生电动势由导体在磁场中运动产生，其表达式为：

$$\mathcal E_i = \int_L (\vec v\times \vec B)\cdot d\vec l$$

它来源于洛伦兹力中磁力分量对电荷的分离作用。

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三、感生电动势与感生电场

变化磁场会激发电场，满足：

$$\oint_L \vec E\cdot d\vec l = -\int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot d\vec S$$

说明感生电场是：

• 非保守场；
• 涡旋场。

对柱对称分布情形，感生电场大小为：

$$E= \begin{cases} -\dfrac{r}{2}\dfrac{dB}{dt}, & r<R \\[6pt] -\dfrac{R^2}{2r}\dfrac{dB}{dt}, & r>R \end{cases}$$

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四、自感与互感

1. 自感

若磁链与电流成正比：

$$\Psi = LI$$

则 $L$ 为自感系数。

自感电动势为：

$$\mathcal E_L = -L\frac{dI}{dt}$$

2. 长直螺线管的自感系数

$$B=\mu \frac{N}{l}I$$

磁链为：

$$\Psi = NBS$$

因此：

$$L=\frac{\Psi}{I}=\frac{\mu N^2S}{l}$$

3. 互感

若线圈 1 中电流变化在线圈 2 中引起感应电动势，则定义互感系数 $M$：

$$\Psi_{21}=MI_1$$ $$\mathcal E_2 = -M\frac{dI_1}{dt}$$

并且：

$$M_{12}=M_{21}=M$$

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五、磁场能量

磁场能量密度为：

$$w_m=\frac{1}{2}\vec B\cdot \vec H$$

电场能量密度为：

$$w_e=\frac{1}{2}\vec D\cdot \vec E$$

总电磁能量密度为：

$$w=w_e+w_m$$

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六、位移电流

为了修正变化电场中的安培环路定理，引入位移电流：

$$I_d=\frac{d\Phi_D}{dt}$$

其中电位移矢量：

$$\vec D=\varepsilon_0\varepsilon_r \vec E$$

位移电流密度为：

$$\vec J_d = \frac{\partial \vec D}{\partial t}$$

因此：

$$I_d=\int_S \vec J_d\cdot d\vec S = \int_S \frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot d\vec S$$

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七、全电流定理与 Maxwell 方程组

1. 全电流定理

$$\oint_L \vec H\cdot d\vec l = \int_S \left( \vec J_0 + \frac{\partial \vec D}{\partial t} \right)\cdot d\vec S$$

其中：

• $\vec J_0$ 为传导电流密度；
• $\dfrac{\partial \vec D}{\partial t}$ 为位移电流密度。

2. Maxwell 方程组（积分形式）

$$\oint_S \vec D\cdot d\vec S = \int_V \rho_0\, dV$$ $$\oint_S \vec B\cdot d\vec S = 0$$ $$\oint_L \vec E\cdot d\vec l = -\int_S \frac{\partial \vec B}{\partial t}\cdot d\vec S$$ $$\oint_L \vec H\cdot d\vec l = \int_S \vec J_0\cdot d\vec S + \int_S \frac{\partial \vec D}{\partial t}\cdot d\vec S$$

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八、电磁波

1. 波速

电磁波在介质中的传播速度为：

$$u=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}$$

其中：

$$\mu=\mu_0\mu_r,\qquad \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$$

2. 能流密度矢量

电磁波的能流密度矢量为坡印廷矢量：

$$\vec S = \vec E\times \vec H$$

3. 能量密度

$$w=\frac{1}{2}\vec D\cdot \vec E + \frac{1}{2}\vec B\cdot \vec H$$

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4. 早期量子论

一、黑体辐射与普朗克能量子假说

1. 黑体

黑体是能完全吸收各种波长电磁波而无反射的理想物体。其辐射本领只与温度有关。

2. 普朗克假设

振子的能量不是连续取值，而是量子化的：

$$E=h\nu$$

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二、光电效应与爱因斯坦光量子论

1. 光电效应基本规律

1. 光电子最大初动能与入射光频率有关：

$$E_{km}=eU_c = h\nu - A$$

其中：

• $U_c$ 为遏止电压；
• $A$ 为逸出功。

2. 只有当

$$\nu>\nu_0$$

时，才会发生光电效应，其中

$$h\nu_0=A$$

$\nu_0$ 为截止频率（红限频率）。

3. 光电效应几乎瞬时发生。
4. 饱和光电流与入射光强有关。

2. 爱因斯坦光电方程

$$h\nu = A + E_{km}$$

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三、康普顿散射

实验规律：

$$\Delta \lambda = \lambda - \lambda_0 = \lambda_C(1-\cos\theta)$$

其中

$$\lambda_C = \frac{h}{m_0 c}$$

为电子的康普顿波长，其数值为：

$$\lambda_C = 0.00243\ \text{nm}=0.0243\ \text{\AA}$$

康普顿散射说明光子具有动量，且与电子碰撞时满足能量守恒和动量守恒。

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四、氢原子光谱与玻尔理论

1. 里德伯公式

$$\tilde \nu=\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{n^2}\right), \qquad n=k+1,k+2,\dots$$

2. 玻尔氢原子理论

主要假设：

1. 定态假设；
2. 轨道角动量量子化：

$$L=n\hbar,\qquad n=1,2,\dots$$

3. 电子在不同定态之间跃迁时辐射或吸收光子：

$$h\nu = E_i-E_f$$

氢原子能级：

$$E_n=-\frac{13.6}{n^2}\ \text{eV}$$

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五、激光

1. 粒子数分布

热平衡时粒子数服从玻尔兹曼分布：

$$N_n \propto e^{-E_n/(kT)}$$

2. 自发辐射与受激辐射

• 自发辐射：原子自发跃迁并发射光子；
• 受激辐射：入射光子诱导原子跃迁，发射出与入射光子完全相同的光子。

3. 产生激光的条件

产生激光需要满足：

1. 激励能源；
2. 粒子数反转；
3. 光学谐振腔。

激光的主要特点：

• 方向性好；
• 单色性强；
• 相干性强；
• 亮度高。

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