第一章 极限与连续

1. 数列极限

1.1 定义

设数列 $\{x_n\}$，若存在常数 $A$，使得

$$\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n > N,\ |x_n - A| < \varepsilon,$$

则称数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $A$，记为

$$\lim_{n\to\infty} x_n = A.$$

注意：写 $N$ 时常常需要取整，如用 $\lceil \cdot \rceil$。

1.2 基本性质

1. 极限唯一
2. 收敛数列必有界
3. 保号性
   若 $\lim_{n\to\infty} x_n = A$，则：
   • 当 $A>0$ 时，存在 $N$，使得 $n>N$ 时 $x_n>0$；
   • 当 $A<0$ 时，存在 $N$，使得 $n>N$ 时 $x_n<0$。

1.3 典型结论

(1) $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{a}=1 \quad (a>0)$

证明思路：

• 当 $a=1$ 时显然成立。
• 当 $a>1$ 时，由 $$a^{1/n}<1+\varepsilon$$ 等价于 $$\frac{\ln a}{n}<\ln(1+\varepsilon),$$ 取 $$N=\left\lceil \frac{\ln a}{\ln(1+\varepsilon)} \right\rceil$$ 即可。
• 当 $0<a<1$ 时，令 $b=\frac1a>1$，则 $$\sqrt[n]{a}=\frac{1}{\sqrt[n]{1/a}} \to 1.$$

(2) $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1$

因为

$$\sqrt[n]{n}=e^{\frac{\ln n}{n}},$$

而

$$\frac{\ln n}{n}\to 0,$$

故

$$e^{\frac{\ln n}{n}} \to e^0=1.$$

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2. 极限证明中的放缩

极限证明中常用方法：

• 估计上下界
• 提取主项
• 转化为已知极限
• 夹逼准则

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3. 函数极限

3.1 类型

• $x\to +\infty$
• $x\to -\infty$
• $x\to \infty$（指 $x\to +\infty$ 与 $x\to -\infty$ 同时成立且极限相同）
• $x\to x_0$
• $x\to x_0^+$
• $x\to x_0^-$

3.2 定义

(1) $x\to +\infty$

$$\lim_{x\to+\infty} f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ \forall x>X,\ |f(x)-A|<\varepsilon.$$

(2) $x\to -\infty$

$$\lim_{x\to-\infty} f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ \forall x<-X,\ |f(x)-A|<\varepsilon.$$

(3) $x\to \infty$

$$\lim_{x\to\infty} f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists X>0,\ \forall |x|>X,\ |f(x)-A|<\varepsilon.$$

并且：

$$\lim_{x\to\infty} f(x)\ \text{存在} \iff \lim_{x\to+\infty} f(x),\ \lim_{x\to-\infty} f(x)\ \text{都存在且相等}.$$

(4) $x\to x_0$

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x,\ 0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$

(5) 右极限

$$\lim_{x\to x_0^+} f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x,\ 0<x-x_0<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$

(6) 左极限

$$\lim_{x\to x_0^-} f(x)=A \iff \forall \varepsilon>0,\ \exists \delta>0,\ \forall x,\ 0<x_0-x<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon.$$

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4. 极限的性质

4.1 唯一性

若 $\lim_{x\to x_0} f(x)$ 存在，则极限唯一。

4.2 有界性

• 数列收敛 $\Rightarrow$ 数列有界；
• 函数在某点有极限 $\Rightarrow$ 函数在该点附近局部有界。

4.3 局部保号性

若

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=A,\quad A>0,$$

则存在 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$。

同理，若 $A<0$，则在充分靠近 $x_0$ 时有 $f(x)<0$。

4.4 不等式与极限

若在 $x_0$ 的某去心邻域内有

$$f(x)\ge g(x),$$

且 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x),\ \lim\limits_{x\to x_0}g(x)$ 都存在，则

$$\lim_{x\to x_0} f(x)\ge \lim_{x\to x_0} g(x).$$

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5. 函数极限与数列极限的关系（Heine 定理）

设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，则

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=A \iff \text{对任意满足 }x_n\to x_0,\ x_n\ne x_0\text{ 的数列 }\{x_n\},\ 都有\ f(x_n)\to A.$$

用途：证明函数极限不存在

例 1：$\sin x$ 在 $x\to\infty$ 时极限不存在

取

$$x_n=2n\pi,\qquad y_n=2n\pi+\frac{\pi}{2},$$

则

$$\sin x_n=0,\qquad \sin y_n=1.$$

对应两列函数值极限不同，因此极限不存在。

例 2：$\sin\frac1x$ 在 $x\to 0^+$ 时极限不存在

取

$$x_n=\frac{1}{2n\pi},\qquad y_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}},$$

则

$$\sin\frac1{x_n}=0,\qquad \sin\frac1{y_n}=1.$$

故极限不存在。

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6. 无穷小与无穷大

6.1 无穷小定义

若

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=0,$$

则称 $f(x)$ 是 $x\to x_0$ 时的无穷小。

6.2 无穷小的性质

1. 有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小。
2. 两个无穷小的商不一定是无穷小。
3. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
4. 常数与无穷小的乘积仍是无穷小。

6.3 无穷大与无界

若

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=\infty,$$

则 $f(x)$ 在该过程中一定无界。

但反过来不成立：无界不一定有无穷大极限。

例如：

$$f(x)=x\sin x$$

是无界函数，但当 $x\to\infty$ 时极限不存在，因此不是“无穷大”。

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7. 极限的四则运算法则

若

$$\lim f(x)=A,\qquad \lim g(x)=B,$$

则：

$$\lim [f(x)+g(x)]=A+B$$ $$\lim [f(x)-g(x)]=A-B$$ $$\lim [f(x)g(x)]=AB$$ $$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\qquad (B\ne 0)$$

注意

• 若其中一个极限不存在，则和、差、积、商都需要具体分析，不能直接套法则。
• 特别是 $0\cdot\infty,\ \infty-\infty,\ \frac00,\ \frac{\infty}{\infty}$ 都属于不定式。

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8. 复合函数极限

若

$$\varphi(x)\to a,\qquad f(u)\to A\ (u\to a),$$

且在 $\varphi(x)\ne a$ 的条件下成立，则

$$\lim_{x\to x_0} f(\varphi(x))=A.$$

若 $f$ 在 $u=a$ 处连续，则可直接写为

$$\lim_{x\to x_0} f(\varphi(x))=f\!\left(\lim_{x\to x_0}\varphi(x)\right)=f(a).$$

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9. 重要极限与夹逼准则

9.1 夹逼准则

若在某邻域内有

$$g(x)\le f(x)\le h(x),$$

且

$$\lim_{x\to x_0} g(x)=\lim_{x\to x_0} h(x)=A,$$

则

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=A.$$

9.2 两个重要极限

(1)

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$

由

$$\sin x\le x\le \tan x \qquad \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$$

可得

$$\cos x\le \frac{\sin x}{x}\le 1,$$

再令 $x\to 0$ 即得结论。

(2)

$$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$$

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10. 等价无穷小

10.1 概念

当 $x\to x_0$ 时，若

$$\lim_{x\to x_0}\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=1,$$

则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是等价无穷小，记作

$$\alpha(x)\sim \beta(x)\qquad (x\to x_0).$$

10.2 常用等价无穷小（当 $x\to 0$）

$$\sin x\sim x,\qquad \tan x\sim x,\qquad \arcsin x\sim x,\qquad \arctan x\sim x$$ $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$$ $$\ln(1+x)\sim x$$ $$e^x-1\sim x$$ $$a^x-1\sim x\ln a\qquad (a>0,\ a\ne 1)$$ $$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$$ $$\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{x}{n}$$ $$\tan x-\sin x\sim \frac{x^3}{2}$$

10.3 使用原则

等价无穷小替换一般只用于乘除，不直接用于加减。

例如：

• 可以用于 $$\frac{\sin x}{x}\to 1$$
• 不能直接把 $$\sin x-x$$ 用“$x-x$”替换，因为这是加减结构，误差阶数会改变结论。

这种情况下应使用更高阶展开：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

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11. 连续函数

11.1 连续定义

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，指

$$\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0).$$

等价于：

$$\lim_{x\to x_0}[f(x)-f(x_0)]=0.$$

也等价于：

$$\lim_{\Delta x\to 0}[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0.$$

11.2 单侧连续

• 右连续： $$\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$$
• 左连续： $$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$$

11.3 连续区间的记法

• 在开区间 $(a,b)$ 上连续：记作 $f\in C(a,b)$；
• 在闭区间 $[a,b]$ 上连续：记作 $f\in C[a,b]$，即
  • 在 $(a,b)$ 内连续；
  • 在 $x=a$ 右连续；
  • 在 $x=b$ 左连续。

11.4 间断点示例

Dirichlet 函数：

$$D(x)= \begin{cases} 1,&x\in\mathbb Q,\\ 0,&x\notin\mathbb Q. \end{cases}$$

则 $D(x)$ 处处不连续，而

$$xD(x)$$

只在 $x=0$ 连续。

11.5 连续函数的性质

1. 和、差、积、商（分母不为零）仍连续；
2. 复合函数连续；
3. 反函数在适当条件下连续；
4. 初等函数在其定义域内连续。

11.6 闭区间上连续函数的重要性质

若 $f\in C[a,b]$，则：

1. 有界性定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上有界；
2. 最值定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上能取到最大值和最小值；
3. 零点定理：若 $f(a)f(b)<0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使 $f(\xi)=0$；
4. 中间值定理：若 $m\le y\le M$（其中 $m,M$ 为最小值与最大值），则存在 $\xi\in[a,b]$ 使 $f(\xi)=y$。

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第二章 一元函数微分学

1. 导数的概念

设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某邻域内有定义，若极限

$$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

存在，则称 $f$ 在 $x_0$ 处可导，这个极限称为 $f$ 在 $x_0$ 处的导数，记作

$$f'(x_0),\quad y'(x_0),\quad \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0}.$$

几何意义：导数表示曲线在该点切线的斜率。

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2. 基本求导公式

$$(C)'=0$$ $$(x^2)'=2x$$ $$(a^x)'=a^x\ln a\qquad (a>0,\ a\ne 1)$$ $$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$$ $$(\sin x)'=\cos x$$ $$(\cos x)'=-\sin x$$

补充：

$$(\tan x)'=\sec^2 x,\qquad (\cot x)'=-\csc^2 x$$ $$(\sec x)'=\sec x\tan x,\qquad (\csc x)'=-\csc x\cot x$$

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3. 连续与可导的关系

• 可导 $\Rightarrow$ 连续；
• 连续 $\nRightarrow$ 可导；
• 不连续 $\Rightarrow$ 不可导。

例

$$f(x)= \begin{cases} x\sin\frac1x,&x\ne 0,\\ 0,&x=0. \end{cases}$$

在 $x=0$ 处连续，因为

$$\lim_{x\to 0}x\sin\frac1x=0.$$

但不可导，因为

$$\lim_{x\to 0}\frac{x\sin(1/x)-0}{x}=\lim_{x\to 0}\sin\frac1x$$

不存在。

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4. 单侧导数

若左右导数

$$f'_-(x_0),\quad f'_+(x_0)$$

都存在且相等，则 $f$ 在 $x_0$ 处可导。

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5. 导数的运算法则

5.1 四则运算

设 $u,v$ 在 $x$ 处可导，则

$$(u\pm v)'=u'\pm v'$$ $$(uv)'=u'v+uv'$$ $$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\qquad (v\ne 0)$$

5.2 反函数求导

若 $y=f(x)$ 可导且 $f'(x)\ne 0$，则其反函数满足

$$(f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'(x)}.$$

常见结果：

$$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$$ $$(\operatorname{arccot}x)'=-\frac{1}{1+x^2}$$

5.3 复合函数求导（链式法则）

若 $u=\varphi(x)$ 在 $x$ 处可导，$y=f(u)$ 在 $u$ 处可导，则

$$\frac{d}{dx}f(\varphi(x))=f'(\varphi(x))\varphi'(x).$$

例如：

$$y=x^x=e^{x\ln x}$$ $$y'=x^x(1+\ln x).$$

5.4 隐函数求导

对由方程

$$F(x,y)=0$$

确定的隐函数，两边同时对 $x$ 求导，再解出 $y'$。

5.5 参数方程求导

若

$$x=x(t),\qquad y=y(t),\qquad x'(t)\ne 0,$$

则

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}.$$

二阶导数为

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\Big/\frac{dx}{dt} = \frac{y''(t)x'(t)-y'(t)x''(t)}{[x'(t)]^3}.$$

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6. 高阶导数

记作：

$$y'',\ y^{(3)},\ \dots,\ y^{(n)}$$

或

$$f''(x),\ f^{(3)}(x),\ \dots,\ f^{(n)}(x).$$

常见结果：

$$(\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$$ $$(\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)$$ $$(a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n$$ $$(e^{ax+b})^{(n)}=a^n e^{ax+b}$$ $$(\sin(ax+b))^{(n)}=a^n \sin\left(ax+b+\frac{n\pi}{2}\right)$$

Leibniz 公式

$$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}.$$

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7. 微分

若函数在 $x_0$ 处可导，则

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x).$$

其中线性主部

$$dy=f'(x_0)\,dx$$

称为微分。

结论

• 可微 $\iff$ 可导；
• 微分是增量的线性近似。

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8. 微分中值定理

8.1 Rolle 定理

若 $f(x)\in C[a,b]\cap D(a,b)$，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

$$f'(\xi)=0.$$

8.2 Lagrange 中值定理

若 $f(x)\in C[a,b]\cap D(a,b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

即

$$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a).$$

8.3 Cauchy 中值定理

若 $f,g\in C[a,b]\cap D(a,b)$，且 $g'(x)\ne 0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得

$$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}.$$

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9. 洛必达法则

若满足：

1. $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=0$ 或同时为 $\infty$；
2. 在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f',g'$ 存在；
3. $g'(x)\ne 0$；
4. $\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在或为 $\infty$，

则

$$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.$$

使用时要先检查条件，尤其是“点附近可导”和“分母导数不为零”。

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10. Taylor 公式

10.1 Peano 型余项

若 $f$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n).$$

10.2 Maclaurin 公式（$x_0=0$）

常用展开：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+o(x^{2n})$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots+o(x^{2n+1})$$ $$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$$ $$\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^n x^n+o(x^n)$$ $$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots$$

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11. 单调性、极值、凹凸性与拐点

11.1 单调性

若 $f$ 在区间内可导，则：

• $f'(x)\ge 0$ $\Rightarrow$ $f$ 单调不减；
• $f'(x)\le 0$ $\Rightarrow$ $f$ 单调不增；
• $f'(x)>0$ $\Rightarrow$ $f$ 严格单调增；
• $f'(x)<0$ $\Rightarrow$ $f$ 严格单调减。

11.2 极值

若 $x_0$ 是可导函数的极值点，则

$$f'(x_0)=0.$$

但反过来不一定成立。

二阶导数判别法

若 $f'(x_0)=0$，且 $f''(x_0)\ne 0$，则：

• $f''(x_0)>0$：极小值点；
• $f''(x_0)<0$：极大值点。

11.3 凹凸性

• $f''(x)>0$：函数下凸（通常也写“凸”）；
• $f''(x)<0$：函数上凸（通常也写“凹”）。

11.4 拐点

拐点的本质是函数凹凸性发生改变。
若 $f''(x_0)=0$ 或不存在，还需要继续检查 $x_0$ 两侧的凹凸性是否改变。

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12. 渐近线

12.1 垂直渐近线

若

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$$

或某侧极限为 $\infty$，则 $x=x_0$ 为垂直渐近线。

12.2 水平渐近线

若

$$\lim_{x\to +\infty}f(x)=A \quad \text{或} \quad \lim_{x\to -\infty}f(x)=A,$$

则 $y=A$ 为水平渐近线。

12.3 斜渐近线

若

$$\lim_{x\to \infty}[f(x)-(ax+b)]=0,$$

则 $y=ax+b$ 为斜渐近线。

其中

$$a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax].$$

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第三章 一元函数积分学

1. 定积分的定义

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，将区间任意分割为

$$a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b,$$

记

$$\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\qquad \lambda=\max \Delta x_i,$$

并在每个小区间中任取一点 $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$，作和式

$$\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i.$$

若当 $\lambda\to 0$ 时，该和式的极限存在，且与分法及 $\xi_i$ 的选取无关，则称 $f$ 在 $[a,b]$ 上可积，其极限称为定积分：

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i.$$

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2. 定积分的性质

2.1 线性

$$\int_a^b [k_1f(x)+k_2g(x)]\,dx = k_1\int_a^b f(x)\,dx+k_2\int_a^b g(x)\,dx.$$

2.2 区间可加性

$$\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx.$$

2.3 改变积分限

$$\int_a^a f(x)\,dx=0,\qquad \int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx.$$

2.4 保号性与保序性

若 $f(x)\ge 0$，则

$$\int_a^b f(x)\,dx\ge 0.$$

若 $f(x)\le g(x)$，则

$$\int_a^b f(x)\,dx\le \int_a^b g(x)\,dx.$$

2.5 估值定理

若

$$m\le f(x)\le M \qquad (x\in[a,b]),$$

则

$$m(b-a)\le \int_a^b f(x)\,dx\le M(b-a).$$

2.6 积分中值定理

若 $f\in C[a,b]$，则存在 $\xi\in[a,b]$ 使得

$$\int_a^b f(x)\,dx=f(\xi)(b-a).$$

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3. 微积分基本定理

3.1 积分上限函数

设

$$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt,\qquad f\in C[a,b],$$

则 $\Phi$ 在 $[a,b]$ 上可导，且

$$\Phi'(x)=f(x).$$

3.2 Newton-Leibniz 公式

若 $F'(x)=f(x)$，则

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

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4. 不定积分

若 $F'(x)=f(x)$，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，$f(x)$ 的全体原函数写作

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C.$$

常用公式

$$\int x^\alpha\,dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \qquad (\alpha\ne -1)$$ $$\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$$ $$\int a^x\,dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$$ $$\int e^x\,dx=e^x+C$$ $$\int \sin x\,dx=-\cos x+C$$ $$\int \cos x\,dx=\sin x+C$$ $$\int \sec^2x\,dx=\tan x+C$$ $$\int \csc^2x\,dx=-\cot x+C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x+C$$ $$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin x+C$$

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5. 换元积分法

5.1 第一换元法

若设 $u=\varphi(x)$，则

$$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx=\int f(u)\,du.$$

常见例子：

$$\int \tan x\,dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\ln|\cos x|+C$$ $$\int \cot x\,dx=\ln|\sin x|+C$$

5.2 第二换元法

当根式、分式结构复杂时，可通过适当代换把积分化为更简单的形式。

例如：

• 含 $\sqrt{a^2-x^2}$：常用三角代换；
• 含多种根式：可令 $x=t^m$，其中 $m$ 取各根指数的最小公倍数；
• 含 $e^x$：通常令 $t=e^x$。

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6. 分部积分法

公式：

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

常用于：

• 多项式 $\times$ 指数函数
• 多项式 $\times$ 三角函数
• 对数函数、反三角函数

例如：

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x-\int \sin x\,dx = x\sin x+\cos x+C.$$ $$\int \ln x\,dx = x\ln x-\int x\cdot \frac1x\,dx = x\ln x-x+C.$$

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7. 定积分换元与对称性

7.1 定积分换元

若 $u=\varphi(x)$，则

$$\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(u)\,du.$$

7.2 常见对称性

$$\int_0^{\pi/2} f(\sin x)\,dx=\int_0^{\pi/2} f(\cos x)\,dx$$ $$\int_0^\pi f(\sin x)\,dx=2\int_0^{\pi/2} f(\sin x)\,dx$$ $$\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(a+b-x)\,dx$$

看到对称区间，先检查奇偶性和换元 $x\mapsto a+b-x$。

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8. 有理函数与三角有理函数积分

8.1 有理函数积分

设

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

为有理函数。

处理步骤：

1. 若是假分式，先做多项式除法；
2. 若是真分式，做部分分式分解；
3. 化为若干基本积分。

8.2 三角有理函数积分

对

$$R(\sin x,\cos x)$$

型积分，可用万能代换

$$t=\tan\frac{x}{2}$$

此时

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad dx=\frac{2}{1+t^2}\,dt.$$

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9. 反常积分

9.1 无穷区间上的反常积分

$$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to +\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$

若极限存在，则称收敛，否则发散。

9.2 无界函数的反常积分

若 $f$ 在端点附近无界，则通过端点极限定义：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{c\to b^-}\int_a^c f(x)\,dx$$

或

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{c\to a^+}\int_c^b f(x)\,dx.$$

9.3 $p$ 型积分结论

$$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛},&p>1,\\ \text{发散},&p\le 1, \end{cases}$$ $$\int_0^1\frac{1}{x^p}\,dx \begin{cases} \text{收敛},&p<1,\\ \text{发散},&p\ge 1. \end{cases}$$

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第四章 定积分的应用

1. 平面图形面积

若区域可表示为上下两条曲线

$$y=f(x),\qquad y=g(x),\qquad f(x)\ge g(x),$$

则面积为

$$S=\int_a^b [f(x)-g(x)]\,dx.$$

若用参数方程

$$x=x(t),\qquad y=y(t),$$

则

$$S=\int y\,dx=\int y(t)x'(t)\,dt.$$

若为极坐标

$$r=r(\theta),$$

则

$$S=\frac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta.$$

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2. 旋转体体积

2.1 圆盘法 / 垫片法

若绕 $x$ 轴旋转，则

$$V=\pi\int_a^b [R^2(x)-r^2(x)]\,dx.$$

2.2 柱壳法

若绕 $y$ 轴旋转，则常用

$$V=2\pi\int_a^b x f(x)\,dx.$$

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3. 物理应用

常见微元思想：

• 功：$dW=F(x)\,dx$
• 质量：$dm=\rho(x)\,dx$
• 压力：按压强 $\times$ 微元面积积分
• 引力：按力元积分

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第五章 常微分方程

1. 基本概念

含有未知函数及其导数的方程称为微分方程。

1.1 阶

最高阶导数的阶数称为方程的阶。

1.2 解

• 通解：含有足够多任意常数的解；
• 特解：由初始条件确定常数后的解。

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2. 一阶微分方程

2.1 可分离变量方程

形式：

$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y).$$

若 $g(y)\ne 0$，则可写为

$$\frac{dy}{g(y)}=f(x)\,dx,$$

两边积分即可。

2.2 一阶线性方程

标准形式：

$$y'+p(x)y=q(x).$$

积分因子为

$$\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.$$

于是

$$(\mu y)'=\mu q,$$

从而

$$y=e^{-\int p(x)\,dx}\left[\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx + C\right].$$

2.3 Bernoulli 方程

$$y'+P(x)y=Q(x)y^n,\qquad n\ne 0,1$$

令

$$z=y^{1-n},$$

可化为一阶线性方程。

2.4 齐次方程

若

$$y'=f\left(\frac{y}{x}\right),$$

令

$$u=\frac{y}{x},$$

则可化为可分离变量方程。

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3. 可降阶的高阶方程

3.1 $y^{(n)}=f(x)$ 型

逐次积分。

3.2 $y''=f(x,y')$ 型

令

$$p=y',$$

则

$$p'=\frac{dp}{dx}=f(x,p).$$

3.3 $y''=f(y,y')$ 型

令

$$p=y',$$

则

$$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy},$$

从而把方程化为关于 $p,y$ 的一阶方程。

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4. 二阶线性微分方程

4.1 齐次方程

一般形式：

$$a_2y''+a_1y'+a_0y=0.$$

对于二阶常系数齐次方程

$$y''+py'+qy=0,$$

写出特征方程

$$r^2+pr+q=0.$$

• 两个不等实根 $r_1,r_2$： $$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$$
• 重根 $r$： $$y=(C_1+C_2x)e^{rx}$$
• 共轭复根 $a\pm i\beta$： $$y=e^{ax}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$$

4.2 非齐次方程

形式：

$$y''+py'+qy=f(x).$$

通解结构：

$$y=y_h+y^*,$$

其中 $y_h$ 为对应齐次方程通解，$y^*$ 为一个特解。

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5. Euler 方程

形式：

$$x^n y^{(n)}+p_1x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+p_n y=f(x).$$

常用代换：

$$x=e^t \quad \text{或} \quad t=\ln x,$$

可化为常系数线性微分方程。

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复习提醒

1. 容易写错的地方

• 极限定义里要写 去心邻域：$0<|x-x_0|<\delta$
• 函数有极限推出的是 局部有界，不是整体有界
• 等价无穷小替换通常只用于 乘除
• 连续写成 $$\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)$$ 不要写成 $f(x)=f(x_0)+o(x)$
• 可导与可微是等价的，但连续只是不充分条件

2. 做题优先级

极限题

1. 先判断类型：代入、等价无穷小、夹逼、洛必达、Taylor
2. 若有根式，优先考虑有理化
3. 若是多项式比值，优先提最高次幂
4. 若有指数幂型，优先转成 $e^{(\cdots)}$

导数题

1. 先认结构：四则、复合、隐函数、参数方程
2. 复杂幂指数型优先取对数

积分题

1. 先看是否直接套公式
2. 再看换元
3. 再看分部积分
4. 分式看部分分式
5. 三角有理式看 $t=\tan\frac{x}{2}$

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