数学分析笔记

数学理论 calculus

无穷级数

常数项级数

  1. 1+12+122+⋯+12n+…1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots 等比级数 (几何级数)

  2. 1+12+13+⋯+1n+…1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \dots 调和级数

  3. 1+122+132+⋯+1n2+…1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots

  4. 1−12+13−⋯+(−1)n+1n+…1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \dots + \frac{(-1)^{n+1}}{n} + \dots

  5. 1−1+1−1+⋯+(−1)n+1+…1 - 1 + 1 - 1 + \dots + (-1)^{n+1} + \dots

  • 复习第一类反常积分: ∫a∞f(x)dx\int_{a}^{\infty} f(x) dx

用定义判断级数的收敛性:

① 先求 SnS_n

② 看 SnS_n 是否收敛

性质:

① 增加/删去有限项不改变敛散性, 但可能改变和

② 收敛级数和的结合律: 逆否命题可用于判断级数发散

③ 若级数收敛, 则 lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0

④ 收敛级数和的交换律

  • 复习: 柯西收敛原理

基本审敛法: 对于 ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty} u_n, 令 Sn=u1+⋯+unS_n = u_1 + \dots + u_n

① Sn→SS_n \to S, 收敛

② lim⁡n→∞un≠0\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0, 发散

③ 基本性质

④ 柯西收敛原理

正项级数的审敛法则

定义: 级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 中各项均有 an≥0a_n \ge 0

特性: Sm≥SnS_m \ge S_n (SnS_n 单增)

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛 ⇒lim⁡n→∞Sn\Rightarrow \lim_{n \to \infty} S_n 存在 ⇒Sn\Rightarrow S_n 有界

正项级数说明有上界即可说明收敛

比较准则 I

比较审敛法: ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n, ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 均为正项级数且 an≤bna_n \le b_n (n=1,2,…n=1, 2, \dots)

(1) ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛 ⇒∑n=1∞an\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛

(2) ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散 ⇒∑n=1∞bn\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_n 发散

注: ① 经有参考级数

★ ② n=1,2,…n=1, 2, \dots 可改为 ∃N∈Z+,n>N\exists N \in \mathbb{Z}^+, n > N

∑n=1∞1np\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} {p>1, 收敛p<1, 发散\begin{cases} p > 1, \text{ 收敛} \\ p < 1, \text{ 发散} \end{cases} (p 级数)

比较准则 II

比较审敛法的极限形式:

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n, ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 都是正项级数, lim⁡n→∞anbn=λ\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lambda

① 0<λ<+∞0 < \lambda < +\infty, 有相同敛散性

② λ=0\lambda = 0, ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 收敛, 则 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛

③ λ=+∞\lambda = +\infty, ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 发散, 则 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散

证明: lim⁡n→∞anbn=λ\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lambda, ∃ε=λ2\exists \varepsilon = \frac{\lambda}{2}

∃N,n>N,λ2<anbn<3λ2\exists N, n > N, \frac{\lambda}{2} < \frac{a_n}{b_n} < \frac{3\lambda}{2}

⇒12bn<an<32bn\Rightarrow \frac{1}{2} b_n < a_n < \frac{3}{2} b_n

  • ∑n=1∞1n(ln⁡n−1)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n - 1)} : ln⁡n−1=eln⁡n−1∼1n\ln n - 1 = e^{\ln n - 1} \sim \frac{1}{n} ⇒\Rightarrow 发散

(n>en > e 时, 1ln⁡n−1>1n\frac{1}{\ln n - 1} > \frac{1}{n} 调和级数发散, ∑n=1∞1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} 发散)

若正项级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛, 则 ∑n=1∞an2\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 收敛

反之不成立 →an2=1n2,an=1n\rightarrow a_n^2 = \frac{1}{n^2}, a_n = \frac{1}{n}

积分审敛法 (积分判别法)

f(x)f(x) 在 [1,+∞)[1, +\infty) 上

f(x)≥0f(x) \ge 0

an=f(n)a_n = f(n) (n=1,2,…n=1, 2, \dots)

f(x)≤∫x∞f(t)dt≤f(1)f(x) \le \int_{x}^{\infty} f(t) dt \le f(1)

Sn=a1+⋯+an≤∫1∞f(x)dx≤Sn+1≤SnS_n = a_1 + \dots + a_n \le \int_{1}^{\infty} f(x) dx \le S_{n+1} \le S_n

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛 ⇔∫1∞f(x)dx\Leftrightarrow \int_{1}^{\infty} f(x) dx 收敛

阶乘出现, 无法用积分判别法

→ 适用于带阶乘的级数

比值审敛法(达朗贝尔审敛法)

若正项级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n (an>0a_n > 0) 满足:

lim⁡n→∞an+1an=L<1 则收敛\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L < 1 \text{ 则收敛}

(1) L<1,∑n=1∞an 收敛L < 1, \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛}

(2) L>1, 发散L > 1, \text{ 发散}

→ 改进方法?

(3) L=1, 无法判定 (有理式型的基本都 L=1)L = 1, \text{ 无法判定 (有理式型的基本都 } L=1)

若 lim⁡n→∞an+1an=1+ϵ\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 + \epsilon 则 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散 ✓ 但 lim⁡n→∞an+1an=1−ϵ\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 - \epsilon 则 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛 ✗

证 (1) 因为 lim⁡n→∞an+1an=L<1\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L < 1, 故可选取 q∈Rq \in \mathbb{R}, 使 L<q<1L < q < 1. 由极限的保号性, 必 ∃N∈N\exists N \in \mathbb{N}, 使得当 n>Nn > N 时, 恒有 an+1an<q\frac{a_{n+1}}{a_n} < q, 从而

an+1<anq<anq2<⋯<anqn.a_{n+1} < a_n q < a_n q^2 < \dots < a_n q^n.

由于等比级数 ∑n=1∞qn\sum_{n=1}^{\infty} q^n 是收敛的, 故级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 必定收敛.

(2) 因为 lim⁡n→∞an+1an=L>1\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L > 1 (含 L=+∞L = +\infty), 故可选取 q∈Rq \in \mathbb{R}, 使 L>q>1L > q > 1. 利用极限的保号性, 必 ∃N∈N\exists N \in \mathbb{N}, 使得 ∀n>N\forall n > N, an+1an>q\frac{a_{n+1}}{a_n} > q, 从而有 an+1>qana_{n+1} > q a_n (n→∞n \to \infty), 故级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 发散.

→ 仍然使用比较判别法证明 ✗

常数项级数的几大性质

1.1. ∑n=1∞an=S,∑n=1∞bn=Sˉ\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S, \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \bar{S}, 则

(1) ∑n=1∞(an±bn)=∑n=1∞an±∑n=1∞bn=S±Sˉ\sum_{n=1}^{\infty} (a_n \pm b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \pm \sum_{n=1}^{\infty} b_n = S \pm \bar{S}

(2) ∑n=1∞can=c∑n=1∞an=cS,c∈R\sum_{n=1}^{\infty} c a_n = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n = cS, c \in \mathbb{R}

(3) 若 an≤bna_n \le b_n, 则 ∑n=1∞an≤∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} a_n \le \sum_{n=1}^{\infty} b_n

1.2. 增删项有极限项不改变敛散性

1.3. ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛, 则 lim⁡n→∞an=0\lim_{n \to \infty} a_n = 0

  • RnR_n 是指余项

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛 ⇔lim⁡n→∞Rn=0→S−Sn\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} R_n = 0 \rightarrow S - S_n

1.4. 收敛级数不改变次序任意加入 CC 后仍收敛且和不变

柯西收敛原理:

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛 ⇔∀ε>0,∃N∈N+, 使 ∀p∈N+,n>N\Leftrightarrow \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}^+, \text{ 使 } \forall p \in \mathbb{N}^+, n > N 时恒有 ∣∑k=n+1n+pak∣<ε|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_k| < \varepsilon

常数项级数笔记补充

定义: 数列 {an}\{a_n\} 各项依次用加号连接起来的表达式 a1+a2+⋯+an+…a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots, 或 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n, 称为常数项无穷级数或级数, ana_n 称为该级数的通项。

级数的收敛性与和: Sn=a1+a2+⋯+an=∑k=1nakS_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k (n=1,2,…n=1, 2, \dots) 称为级数的部分和。

若部分和数列 {Sn}\{S_n\} 收敛, 则称级数收敛。

S=lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nakS = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} a_k 为和, 记作 ∑n=1∞an=S\sum_{n=1}^{\infty} a_n = S; 否则发散。

收敛+发散=敛散性

等比级数(几何级数)部分和 {a1(1−qn)1−q,q≠1na1,q=1\begin{cases} \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}, & q \neq 1 \\ na_1, & q=1 \end{cases}

比值审敛法缺点:

  1. L=1L=1 时失效
  2. 定理是充分而非必要

∴an=2n+(−1)n2n<32n=32⋅1n\therefore a_n = \frac{2^n + (-1)^n}{2^n} < \frac{3}{2^n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{n}

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛

∴lim⁡n→∞a2n+1a2n=22n+122n+122n22n=322n+1322n=12<1\therefore \lim_{n \to \infty} \frac{a_{2n+1}}{a_{2n}} = \frac{\frac{2^{2n+1}}{2^{2n+1}}}{\frac{2^{2n}}{2^{2n}}} = \frac{\frac{3}{2^{2n+1}}}{\frac{3}{2^{2n}}} = \frac{1}{2} < 1

∴n!∼2πnnn+1/2e−n\therefore n! \sim \sqrt{2\pi n} n^{n+1/2} e^{-n}

n!>nn,∀n>1n! > n^n, \forall n > 1

★ ∑n=1∞4n(n!)2(2n)!\sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!}, lim⁡n→∞an+1an=1\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 1

但 an+1an=1+12n+1>1\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 + \frac{1}{2n+1} > 1

→an+1>an>⋯>a1=2\rightarrow a_{n+1} > a_n > \dots > a_1 = 2

→an→0→发散\rightarrow a_n \to 0 \rightarrow \text{发散}

调和级数是发散的

根值判别法 (Cauchy 判别法)

∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 为正项级数, lim⁡n→∞ann=λ\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lambda 或 +∞+\infty

(1) λ<1\lambda < 1, 收敛 (2) λ>1\lambda > 1 或 +∞+\infty, 发散 (3) λ=1\lambda = 1, 无法判定

达朗贝尔 --- Cauchy: 若 lim⁡n→∞an+1an=λ\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lambda, 则 lim⁡n→∞ann=λ\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \lambda 反之未必! 所以可用比值必可用根值! 根值优于比值!

反例: Un={12n,奇13n,偶U_n = \begin{cases} \frac{1}{2^n}, & \text{奇} \\ \frac{1}{3^n}, & \text{偶} \end{cases}

12−13+14−19+18↑\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{9} + \frac{1}{8} \uparrow

证明: ∵Un+1−Un≥0\because U_{n+1} - U_n \ge 0

∴S2n=(U1−U2)+⋯+(U2n−1−U2n)↑≥0≥0=U1−(U2−U3)+⋯+(U2n−2−U2n−1)−U2n≥0≥0≤U1\begin{aligned} \therefore S_{2n} &= (U_1 - U_2) + \cdots + (U_{2n-1} - U_{2n}) \uparrow \\ &\ge 0 \quad \ge 0 \\ &= U_1 - (U_2 - U_3) + \cdots + (U_{2n-2} - U_{2n-1}) - U_{2n} \\ &\ge 0 \quad \ge 0 \\ &\le U_1 \end{aligned}

∴lim⁡n→∞U2n+1=0\therefore \lim_{n \to \infty} U_{2n+1} = 0

∴lim⁡n→∞S2n+1=lim⁡n→∞(S2n+U2n+1)=S⇓lim⁡n→∞Sn=S,S≤U1\begin{aligned} \therefore \lim_{n \to \infty} S_{2n+1} &= \lim_{n \to \infty} (S_{2n} + U_{2n+1}) = S \\ &\Downarrow \\ \lim_{n \to \infty} S_n &= S, S \le U_1 \end{aligned}

习题: 若 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 与 ∑n=1∞cn\sum_{n=1}^{\infty} c_n 都收敛, 且 bn≤an≤cnb_n \le a_n \le c_n (n=1,2,…n=1, 2, \dots) →∑n=1∞an\rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛

cn−bn≤cn−anc_n - b_n \le c_n - a_n 且均为正项级数

比较准则…

② ∑n=1∞an,∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} a_n, \sum_{n=1}^{\infty} b_n 均收敛:

∑n=1∞(an+bn)2≤∑n=1∞2anbn,∑n=1∞ann≤an+bn2≤anbn2→∑n=1∞bn=1n2三者均收敛\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} (a_n + b_n)^2 &\le \sum_{n=1}^{\infty} 2a_n b_n, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n} \\ &\le \frac{a_n + b_n}{2} \le \frac{a_n b_n}{2} \rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{1}{n^2} \\ &\text{三者均收敛} \end{aligned}

⋆lim⁡n→∞anan≤lim⁡n→∞ann≤lim⁡n→∞nanan≤lim⁡n→∞an+1an\star \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{a_n} \le \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le \lim_{n \to \infty} \frac{n a_n}{a_n} \le \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}

对于变号级数 ∑n=1∞Un\sum_{n=1}^{\infty} U_n:

若 ∑n=1∞∣Un∣\sum_{n=1}^{\infty} |U_n| 收敛, 则 ∑n=1∞Un\sum_{n=1}^{\infty} U_n 收敛

证明: ∑n=1∞Vn=12(Un+∣Un∣)\sum_{n=1}^{\infty} V_n = \frac{1}{2} (U_n + |U_n|)

Vn≥0,Vn≤∣Un∣,∑n=1∞∣Un∣V_n \ge 0, V_n \le |U_n|, \sum_{n=1}^{\infty} |U_n| 收敛, ∑n=1∞Vn\sum_{n=1}^{\infty} V_n 收敛

∑n=1∞Un=∑n=1∞(2Vn−∣Un∣)\sum_{n=1}^{\infty} U_n = \sum_{n=1}^{\infty} (2V_n - |U_n|) 也收敛

→ 借助正项级数的比较准则

例: ∑n=1∞sin⁡nn2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2} 收敛, ∣sin⁡n∣n2≤1n2\frac{|\sin n|}{n^2} \le \frac{1}{n^2}

交错级数及其审敛法

正、负相间的级数

莱布尼茨准则: ∑n=1∞(−1)n+1Un\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} U_n 满足

① Un=Un+1U_n = U_{n+1} (递减) 级数收敛, S≤U1S \le U_1 ② lim⁡n→∞Un=0\lim_{n \to \infty} U_n = 0 余项 rn,∣rn∣≤Un+1r_n, |r_n| \le U_{n+1}

充分非必要

绝对收敛与条件收敛

  • 绝对收敛：级数 ∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 收敛, 则 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 绝对收敛。
  • 条件收敛：∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛, 但 ∑n=1∞∣an∣\sum_{n=1}^{\infty} |a_n| 发散。

若 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛, ∑n=1∞an2\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2 不一定收敛（无正项）。 例如：an=(−1)n+11n,an2=1n2a_n = (-1)^{n+1} \frac{1}{n}, a_n^2 = \frac{1}{n^2}。

无限项重排和可能改变

由 SnS_n 取极限得到, SnS_n 可能不同。 级数的重排: ∑an→∑a~n\sum a_n \to \sum \tilde{a}_n（有限项进行交换）。

定理 1.10 如果级数 ∑an\sum a_n 绝对收敛, 则它的任意重排级数 ∑a~n\sum \tilde{a}_n 也收敛, 且它们的和相等。 注意: 如果级数 ∑an\sum a_n 条件收敛, 定理 1.10 不再成立。 例如: ∑n=1∞(−1)n−1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} 条件收敛, 可以计算, 它的一个重排 ∑n=1∞12n−1−14n−2=12∑n=1∞(−1)n−1n\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{4n-2} = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}。

另法: 必要性法则, 与 n∈Nn \in \mathbb{N} 相关联。

对于非正项级数, 比较准则 II 不成立:

lim⁡n→∞∑k=1nak+1n∑k=1n1k=1→发散\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} a_k + \frac{1}{n}}{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}} = 1 \rightarrow \text{发散}

lim⁡n→∞∑k=1nak∑k=1n1k=1→收敛\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n} a_k}{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}} = 1 \rightarrow \text{收敛}

引理 1.11 对于级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n, 令

an+=∣an∣+an2={an,an≥00,an≤0a_n^+ = \frac{|a_n| + a_n}{2} = \begin{cases} a_n, & a_n \ge 0 \\ 0, & a_n \le 0 \end{cases}

an−=∣an∣−an2={−an,an<00,an≥0a_n^- = \frac{|a_n| - a_n}{2} = \begin{cases} -a_n, & a_n < 0 \\ 0, & a_n \ge 0 \end{cases}

显然 an=an+−an−a_n = a_n^+ - a_n^-, ∣an∣=an++an−|a_n| = a_n^+ + a_n^-, n=1,2,…n = 1, 2, \dots

(1) 若 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 绝对收敛, 则 ∑n=1∞an+\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+, ∑n=1∞an−\sum_{n=1}^{\infty} a_n^- 都收敛; (2) 若 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 条件收敛, 则 ∑n=1∞an+\sum_{n=1}^{\infty} a_n^+, ∑n=1∞an−\sum_{n=1}^{\infty} a_n^- 都发散到 +∞+\infty。

Riemann 定理 假设级数 ∑an\sum a_n 条件收敛, 则对任意实数 −∞≤a≤+∞-\infty \le a \le +\infty, 都存在 ∑an\sum a_n 的一个重排级数 ∑a~n\sum \tilde{a}_n, 使得:

∑a~n=a.\sum \tilde{a}_n = a.

级数的乘积表示

定理 1.11 设级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 与 ∑n=1∞bn\sum_{n=1}^{\infty} b_n 都绝对收敛, 它们的和分别为 AA 与 BB, 那么, 它们所乘得的所有可能的乘积 ak1bk2a_{k_1} b_{k_2} 按任何次序排列所得到的级数 ∑k=1∞ck\sum_{k=1}^{\infty} c_k 也绝对收敛, 并且其和为 ABAB。

定理的证明从略。我们知道, 两个级数相乘, 如果所有的乘积排列次序不同, 那么, 得到的乘积级数也不相同。通常用同一字母的下标来表示同一级数下不同的项, 中间用逗号对角线, 各乘积项和加法为乘积级数的一项。

k1k_1k2k_2k3k_3k4k_4k5k_5
a1a_1a1b1a_1 b_1a1b2a_1 b_2a1b3a_1 b_3a1b4a_1 b_4a1b5a_1 b_5
a2a_2a2b1a_2 b_1a2b2a_2 b_2a2b3a_2 b_3a2b4a_2 b_4a2b5a_2 b_5
a3a_3a3b1a_3 b_1a3b2a_3 b_2a3b3a_3 b_3a3b4a_3 b_4a3b5a_3 b_5
a4a_4a4b1a_4 b_1a4b2a_4 b_2a4b3a_4 b_3a4b4a_4 b_4a4b5a_4 b_5
a5a_5a5b1a_5 b_1a5b2a_5 b_2a5b3a_5 b_3a5b4a_5 b_4a5b5a_5 b_5

函数项级数

函数项级数的处处收敛性

定义: 在同一个集合 A⊆RA \subseteq \mathbb{R} 上由无穷多项组成的一列函数 (函数列), 将它的各项依次用加号联结得到 U1+U2+⋯+Un+⋯=∑n=1∞UnU_1 + U_2 + \dots + U_n + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} U_n 称为函数项级数, UnU_n 称为它的通项, Sn=∑k=1nUkS_n = \sum_{k=1}^{n} U_k 称为它的部分和。

设 x0∈Ax_0 \in A, x0x_0 代入函数项级数, 就会变成一个常数项级数。

  • 若收敛 →x0\to x_0 是函数项级数的收敛点
  • 若发散 →x0\to x_0 是级数的发散点
  • 收敛点的全体集合 →\to 收敛域 DD
  • 发散点的全体集合 →\to 发散域

级数在 DD 上处处收敛 (逐点收敛) →S(x)=∑n=1∞Un(x)\to S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} U_n(x), x∈Dx \in D, 为级数的和函数, 简称和。

Rn(x)=S(x)−Sn(x)=∑k=n+1∞Uk(x)R_n(x) = S(x) - S_n(x) = \sum_{k=n+1}^{\infty} U_k(x)

lim⁡n→∞Rn(x)=0(x∈D)\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 \quad (x \in D)

  • 用比值/根值法判定的级数非绝对收敛, 则原级数一定发散 (∣Un∣↛0|U_n| \not\to 0)。

小结：常数项级数的审敛法

级数类型审敛法/性质
正项级数1. lim⁡n→∞Sn=S  ⟺  \lim_{n \to \infty} S_n = S \iff 级数收敛
2. 当 n→∞n \to \infty 时，Un→0U_n \to 0 则级数发散
3. 基本性质
4. 有界   ⟺  \iff 收敛
5. 积分法、比较法
6. 比值法
7. 根值法
变号级数4. 绝对收敛
5. 交错级数（莱布尼茨准则）

关于和函数的连续性

在处处收敛的条件下，函数项级数不具备有限个函数之和（连续之和仍连续，可导之和仍可导，可积之和仍可积）的性质。

→ 引出一致收敛： ∀ε>0,∃N(ε)∈N+,当 n>N(ε) 时, ∀x∈D 恒有 ∣Sn(x)−S(x)∣<ε→一致收敛\forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N}^+, \text{当 } n > N(\varepsilon) \text{ 时, } \forall x \in D \text{ 恒有 } |S_n(x) - S(x)| < \varepsilon \rightarrow \text{一致收敛}

一致收敛的判别

① Weierstrass 准则 / M 判别法

若存在收敛的级数 ∑n=1∞Mn\sum_{n=1}^{\infty} M_n，且 ∀n∈N+,∀x∈D\forall n \in \mathbb{N}^+, \forall x \in D 恒有 ∣Un(x)∣≤Mn|U_n(x)| \le M_n，则 ∑n=1∞Un(x)\sum_{n=1}^{\infty} U_n(x) 一致收敛。

② 由柯西收敛原理推出

∑n=1∞Un(x)\sum_{n=1}^{\infty} U_n(x) 在 DD 一致收敛   ⟺  ∀ε>0,∃N(ε)∈N+,∀n,p∈N+,n>N(ε),∀x∈D\iff \forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) \in \mathbb{N}^+, \forall n, p \in \mathbb{N}^+, n > N(\varepsilon), \forall x \in D 有： ∣∑k=n+1n+pUk(x)∣<ε\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} U_k(x) \right| < \varepsilon

  • 若和函数一致收敛，则满足极限的加减性质以及连续性。

和函数的可积性

① 一致收敛；② 函数可积。

两点注记

  1. 上述三个定理中闭区间均可换成开区间。
  2. 上述三个定理中闭区间上一致收敛的条件均可减弱为开区间上内闭一致收敛。 （定义：若级数 ∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在开区间 (a,b)(a, b) 内的任意闭子区间上一致收敛，则称该级数在 (a,b)(a, b) 上内闭一致收敛）

幂级数

  1. 定义：形如 ∑n=1∞an(x−x0)n\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x - x_0)^n 的级数为幂级数，ana_n 为幂级数系数。 x0x_0 为幂级数的中心。 幂级数的中心一定是收敛点，且为收敛域的中心。

Abel 定理

定理 3.1 (Abel 定理) 对于幂级数 ∑n=1∞an(x−x0)n\sum_{n=1}^{\infty} a_n (x - x_0)^n，下列命题成立：

  • (1) 若它在点 x0≠0x_0 \neq 0 处收敛，则当 ∣x∣<∣x0∣|x| < |x_0| 时，该级数绝对收敛；
  • (2) 若它在点 x0≠0x_0 \neq 0 处发散，则当 ∣x∣>∣x0∣|x| > |x_0| 时，该级数发散。

定理 3.2 幂级数的收敛性有且仅有三种可能：

  • (1) 对于任何 x∈Rx \in \mathbb{R} 都收敛，并且绝对收敛；
  • (2) 仅在 x=x0x = x_0 点收敛；
  • (3) 存在一个正数 RR，当 ∣x−x0∣<R|x - x_0| < R 时绝对收敛，当 ∣x−x0∣>R|x - x_0| > R 时发散。

定义 3.1 定理 3.2 中的正数 RR 称为幂级数的收敛半径，开区间 (x0−R,x0+R)(x_0-R, x_0+R) 称为它的收敛区间。 收敛域可能为：(−R,R),[−R,R),(−R,R],[−R,R](-R, R), [-R, R), (-R, R], [-R, R]。

定理 3.3 设有幂级数 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n，若 an≠0a_n \neq 0，并且 lim⁡n→∞∣anan+1∣\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| 存在或为 +∞+\infty，则它的收敛半径为： R=lim⁡n→∞∣anan+1∣R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|

幂级数的收敛半径（根值法）

定理 3.4 设有幂级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n，若 an≠0a_n \neq 0，且 lim⁡n→∞1∣an∣n=R\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}} = R，则它的收敛半径为 RR。 R=lim⁡n→∞1∣an∣nR = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}

幂级数的运算法则

设 ∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n 与 ∑n=1∞bnxn\sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n 收敛半径分别为 R1,R2R_1, R_2。 令公共收敛半径 R=min⁡{R1,R2}R = \min\{R_1, R_2\}，则幂级数满足加减乘除的运算，但结果的收敛半径 RR 不确定。

定理 3.6 (内一致收敛性) 设幂级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 的收敛半径为 RR (0<R<+∞0 < R < +\infty)，则它在收敛区间 (−R,R)(-R, R) 内的任何闭子区间 [a,b][a, b] 上都是一致收敛的。

定理 3.7 设幂级数 ∑n=0∞anxn\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n 的和函数为 S(x)S(x)，收敛半径为 RR，则有：

(1) S(x)S(x) 在收敛区间 (−R,R)(-R, R) 内连续，即 S(x)∈C(−R,R)S(x) \in C(-R, R)；

(2) S(x)S(x) 在收敛区间 (−R,R)(-R, R) 内有连续的导数，并且可以逐项求导，即 ∀x∈(−R,R)\forall x \in (-R, R)，有

S′(x)=(∑n=0∞anxn)′=∑n=1∞(nan)xn−1.(3.6)S'(x) = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} (n a_n) x^{n-1}. \quad (3.6)

求导后所得幂级数 ∑n=1∞(nan)xn−1\sum_{n=1}^{\infty} (n a_n) x^{n-1} 有相同的收敛半径 RR。

(3) S(x)S(x) 在收敛区间 (−R,R)(-R, R) 内可积，并且可以逐项积分，即 ∀x∈(−R,R)\forall x \in (-R, R)，有

∫0xS(t)dt=∫0x(∑n=0∞antn)dt=∑n=0∞∫0xantndt.(3.7)\int_{0}^{x} S(t) dt = \int_{0}^{x} \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n t^n \right) dt = \sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_n t^n dt. \quad (3.7)

积分后所得幂级数 ∑n=0∞∫0xantndt\sum_{n=0}^{\infty} \int_{0}^{x} a_n t^n dt 有相同的收敛半径 RR。

注：收敛域可能改变。

求一些级数的和函数：对级数积分/求导 →\to 幂级数中和。

函数展开成幂级数

无穷次可导，ff 在 x0x_0 处的 Taylor 级数为：

f(x)∼∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)nf(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n

当 x0=0x_0 = 0 时为 Maclaurin 级数。

除了 x=x0x = x_0 外，f(x)f(x) 的 Taylor 级数也可收敛，可能收敛到 f(x)f(x)，但也不一定（如魔鬼函数）：

f(x)={0,x=0e−1/x2,x≠0→f′(0),…,f(n)(0)=0f(x) = \begin{cases} 0, & x=0 \\ e^{-1/x^2}, & x \neq 0 \end{cases} \to f'(0), \dots, f^{(n)}(0) = 0

∀x∈R,f(x)=0\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = 0，但只有 x=0x=0 收敛到 f(x)f(x)。

f(x)=f(x) = 泰勒级数 ⇔lim⁡n→∞Rn(x)=0(x∈U(x0))\Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0 \quad (x \in U(x_0))

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+Rnf(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n + R_n 其中 Rn=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x - x_0)^{n+1}。

展开式具有唯一性，与 Maclaurin 级数一致，可用待定系数法。

求 exe^x 的余项：Rn=f(n+1)(ξ)(n+1)!xn+1R_n = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} x^{n+1} f(n+1)(x)=ex→f(n+1)(ξ(x))=eξ(x)≤e∣x∣f^{(n+1)}(x) = e^x \to f^{(n+1)}(\xi(x)) = e^{\xi(x)} \le e^{|x|} ξ(x)∈(0,x)→Rn≤e∣x∣(n+1)!∣x∣n+1,n→∞,→0\boxed{\xi(x) \in (0, x)} \to R_n \le \frac{e^{|x|}}{(n+1)!} |x|^{n+1}, n \to \infty, \to 0

牛顿级数： sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+…\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \dots 余项：sin⁡ξ+(2n+1)ξ(2n+1)!≤∣x∣2n+1(2n+1)!→0\frac{\sin \xi + (2n+1)\xi}{(2n+1)!} \le \frac{|x|^{2n+1}}{(2n+1)!} \to 0

补端点方法：①代入展开式 ② Tauber 定理 ③余项分析。

幂级数的应用

误差的确定：若代入级数的前 nn 项，则可用第 n+1n+1 项的大小来确定误差（第 n+1n+1 项理论上比误差大）。

Euler 公式（欧拉公式）： eiπ=cos⁡π+isin⁡π⇒eiπ+1=0e^{i\pi} = \cos \pi + i \sin \pi \Rightarrow e^{i\pi} + 1 = 0

Fourier 级数

是一种三角级数，一般形式为 a02+∑n=1∞(ancos⁡nx+bnsin⁡nx)\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)。

函数展成幂级数所需条件过强，傅里叶级数可看作弦波叠加： f(t)=A0+∑n=1∞Ansin⁡(nωt+φn)=A0+∑n=1∞An(sin⁡nωtcos⁡φn+cos⁡nωtsin⁡φn)f(t) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n \sin(n\omega t + \varphi_n) = A_0 + \sum_{n=1}^{\infty} A_n (\sin n\omega t \cos \varphi_n + \cos n\omega t \sin \varphi_n)

三角函数系 {1,cos⁡x,sin⁡x,…,cos⁡nx,sin⁡nx}\{1, \cos x, \sin x, \dots, \cos nx, \sin nx\} 正交：任意两个不同函数的乘积在 [−π,π][-\pi, \pi] 的积分 = 0，而任一函数平方在 [−π,π][-\pi, \pi] 的积分 ≠0\neq 0。

傅里叶系数： an=1π∫−ππf(x)cos⁡nx dx(n=0,1,… )a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \quad (n=0, 1, \dots) bn=1π∫−ππf(x)sin⁡nx dx(n=1,2,… )b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin nx \, dx \quad (n=1, 2, \dots)

若周期为 2l2l 而不是 2π2\pi，令 t=πlxt = \frac{\pi}{l} x，则 g(t)=f(lπt)=f(x)g(t) = f(\frac{l}{\pi} t) = f(x)。 范围为 [a,b][a, b] 可通过中心平移至 0；范围为 [0,l][0, l] 可通过奇偶延拓处理。

关于极限与积分交换： lim⁡n→∞∫abfn(x)dx\lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n(x) dx 与 ∫ablim⁡n→∞fn(x)dx\int_a^b \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx 不能随便交换。

多元函数微分学及其应用

nn 维欧氏空间 RnR^n 中的点集初步知识：nn 元有序实数列的全体构成的集合，包含加法和数乘运算。内积用于刻画向量的夹角，范数用于刻画向量的长度。

RnR^n 中点列的极限

邻域：RnR^n 中所有到定点距离小于定数 δ\delta 的点的全体，记作 U(α,δ)U(\alpha, \delta) 或 U(α)U(\alpha)。

序列的收敛性

(I) ϵ−N\epsilon-N 定义：若 {xn}\{x_n\} 是 RnR^n 中的序列，α\alpha 是 RnR^n 中的一点，如果对于任意 ϵ>0\epsilon > 0，存在 N∈NN \in \mathbb{N}，使得当 n≥Nn \ge N 时，∥xn−α∥<ϵ\|x_n - \alpha\| < \epsilon，则称该序列收敛于 α\alpha，记作 lim⁡n→∞xn=α\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha。

(II) 按坐标定义：若 {xn}\{x_n\} 是 RnR^n 中的序列，且对于每个坐标 i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n，都有 lim⁡n→∞xni=αi\lim_{n \to \infty} x_{ni} = \alpha_i，则称该序列收敛于 α\alpha，记作 lim⁡n→∞xn=α\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha。

点列的收敛是按坐标收敛的： lim⁡n→∞xn=α⇔lim⁡n→∞xi=αi(i=1,2,3,… )\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty} x_i = \alpha_i \quad (i=1, 2, 3, \dots)

邻域定义

RnR^n 中点 α\alpha 的邻域是 RnR^n 中所有满足 ∥x−α∥<δ\|x - \alpha\| < \delta 的点 xx 构成的集合。

点的分类

  • 内点
  • 外点
  • 边界点 (界点)

聚点：α\alpha 附近有 AA 的无穷多个点，即对 α\alpha 的任意邻域 U(α)U(\alpha)，满足 U(α)∩AU(\alpha) \cap A 为无限集合，则 α\alpha 为 AA 的聚点。

孤立点：U(α)∩A={α}U(\alpha) \cap A = \{\alpha\}。

分类关系：

  • 内点、外点
  • 外点、聚点
  • 边界点、孤立点

关于聚点的等价说法： (1) α\alpha 是 AA 的聚点。 (2) α\alpha 的任意邻域内至少有一个属于 AA 而异于 α\alpha 的点。 (3) 存在 AA 中的点列 {xn}\{x_n\} 使得 lim⁡n→∞xn=α\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha。

集合的拓扑性质

  • 全体内点 →\to 内部
  • 全体边界点 →\to 边界
  • 全体外点 →\to 外部
  • AA 的全体聚点 →\to 导集 (A′A')
  • 导集与 AA 的并集 →\to 闭包 (Aˉ\bar{A})

Aˉ=A∪A′\bar{A} = A \cup A' Aˉ={x∈Rn∣∀x 的邻域 U(x),U(x)∩A≠∅}\bar{A} = \{x \in R^n \mid \forall x \text{ 的邻域 } U(x), U(x) \cap A \neq \emptyset\}

极限的定义

(I) ϵ−N\epsilon-N 定义：若 {xn}\{x_n\} 是 Rn\mathbb{R}^n 中的序列，α\alpha 是 Rn\mathbb{R}^n 中的一点，如果对于任意 ϵ>0\epsilon > 0，存在 N∈NN \in \mathbb{N}，使得当 n≥Nn \ge N 时，有 ∥xn−α∥<ϵ\|x_n - \alpha\| < \epsilon，则称该序列收敛于 α\alpha，记作 lim⁡n→∞xn=α\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha。

(II) 分量定义：若 {xn}\{x_n\} 是 Rn\mathbb{R}^n 中的序列，且对于每个分量 i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n，都有 lim⁡n→∞xni=αi\lim_{n \to \infty} x_{ni} = \alpha_i，则称该序列收敛于 α\alpha，记作 lim⁡n→∞xn=α\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha。

可证 lim⁡(x,y)→(0,0)xyx2+y2\lim_{(x, y) \to (0, 0)} \frac{xy}{x^2+y^2} 极限不存在：取 y=x,y=2xy=x, y=2x 等路径，极限不同。

连通集、区域、凸集、凹集 →\to 开区域

证明 f(x,y)=xyx2+y2f(x, y) = \frac{xy}{x^2 + y^2} 在 (x,y)→(0,0)(x, y) \to (0, 0) 时极限不存在：

① 取 y=xy = x，lim⁡=x22x2=12\lim = \frac{x^2}{2x^2} = \frac{1}{2}

② 取 y=−x+x2y = -x + x^2，lim⁡=⋯=−1\lim = \dots = -1

n元函数的定义

设 A⊆RnA \subseteq \mathbb{R}^n 是一个点集，称映射 f:A→Rf: A \to \mathbb{R} 是定义在 AA 上的一个 nn 元数量值函数，简称为 nn 元函数。

ω=f(x⃗)=f(x1,x2,…,xn)\omega = f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, \dots, x_n)

其中 x⃗=(x1,x2,…,xn)\vec{x} = (x_1, x_2, \dots, x_n) 为自变量，x⃗∈A\vec{x} \in A。 也可记作 ω=f(p)\omega = f(p)，其中 p∈Ap \in A（点函数写法）。

D(f)=AD(f) = A 称为 ff 的定义域。 ω\omega 称为因变量，R(f)={ω∣ω=f(x⃗),x⃗∈D(f)}R(f) = \{ \omega \mid \omega = f(\vec{x}), \vec{x} \in D(f) \} 称为值域。

二元函数可记作 z=f(x,y)z = f(x, y)，(x,y)∈A⊆R2(x, y) \in A \subseteq \mathbb{R}^2。

累次极限：区别于重极限，考察 xx 和 yy 时依一定的先后顺序，相继趋于 x0,y0x_0, y_0 的极限。

L=lim⁡y→y0lim⁡x→x0f(x,y)→先 x 后 yL = \lim_{y \to y_0} \lim_{x \to x_0} f(x, y) \to \text{先 } x \text{ 后 } y

f:A→Rmf: A \to \mathbb{R}^m (m≥2m \ge 2), y=(y1,y2,…,ym)∈Rmy = (y_1, y_2, \dots, y_m) \in \mathbb{R}^m →n\to n 元向量值函数

★ 累次极限和重极限没有蕴含关系 ★ 两个累次极限不同 →\to 重极限一定不存在 可能前者存在后者不存在 / 前者不存在后者存在 ★ 如果重极限与累次极限都存在，那三者必定相等

二重极限 / 累次极限

二重极限的定义: 二元函数 ff 定义在 D⊆R2D \subseteq \mathbb{R}^2 上, P0P_0 为 DD 的一个聚点, aa 是一实数, 若 ∀ε>0,∃δ>0\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, 使当 p∈U0(P0,δ)∩Dp \in U^0(P_0, \delta) \cap D 时, 都有 ∣f(p)−a∣<ε→f|f(p) - a| < \varepsilon \to f 在 DD 上当 p→P0p \to P_0 时以 aa 为极限。 记作 lim⁡p→P0f(p)=a\lim_{p \to P_0} f(p) = a

∀ε>0,∃δ>0,∀0<(x−x0)2+(y−y0)2<δ,∣f(x,y)−a∣<ε\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall 0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta, |f(x, y) - a| < \varepsilon

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=lim⁡y→y0f(x,y)\lim_{(x, y) \to (x_0, y_0)} f(x, y) = \lim_{y \to y_0} f(x, y)

多元函数的极限与连续性

根据定义, 孤立点也是连续点。

而当 a≤2a \le 2 时, lim⁡(x,y)→(0,0)f(x,y)\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) 不存在, 故 ff 在原点不连续。

※ (补充) 全增量与偏增量 设 P0(x0,y0),P(x,y)∈D,Δx=x−x0,Δy=y−y0P_0(x_0, y_0), P(x, y) \in D, \Delta x = x - x_0, \Delta y = y - y_0, 称 Δz=Δf(x0,y0)=f(x,y)−f(x0,y0)=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z = \Delta f(x_0, y_0) = f(x, y) - f(x_0, y_0) = f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) 为函数 ff 在点 P0P_0 的全增量。和一元函数一样, 可用全增量形式来描述连续性。

若一个偏增量的极限为零, 如 lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)=f(x0,y0)\lim_{\Delta y \to 0} f(x_0, y_0 + \Delta y) = f(x_0, y_0), 则表示当固定 x=x0x = x_0 时, f(x,y)f(x, y) 作为 yy 的函数, 在 y0y_0 处连续。同理, 若 lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)=f(x0,y0)\lim_{\Delta x \to 0} f(x_0 + \Delta x, y_0) = f(x_0, y_0), 则表示当固定 y=y0y = y_0 时, f(x,y)f(x, y) 是 xx 的函数。容易证明: 当 ff 在某定区域的内点 (x0,y0)(x_0, y_0) 处连续, f(x,y)f(x, y) 在 x0x_0 与 f(x0,y)f(x_0, y) 在 y0y_0 都连续。但是反过来, 由二元函数对每个自变量都连续, 一般不能保证函数的连续性 (除非另外增加条件)。

偏导数

偏导数的定义：函数 y=f(x,y)y=f(x,y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 的某一邻域 U(x0,y0)U(x_0, y_0) 内有定义，当自变量 yy 固定在 y0y_0，而 xx 在 x0x_0 处有改变量 Δx\Delta x，(x0+Δx,y0)∈U(x0,y0)(x_0+\Delta x, y_0) \in U(x_0, y_0) 时，

lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}

记作 ∂f∂x∣(x0,y0)\frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(x_0, y_0)}

几点说明：

  1. ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x} 是一个整体记号，不能拆分，∂∂x\frac{\partial}{\partial x} 不可拆分！
  2. 求分界点、不连续点处的偏导数要按定义来。
  3. 一元函数中某点可导 ⇒\Rightarrow 连续；多元函数中某点偏导数存在 ↛\nrightarrow 连续。 例如：f(x,y)={0,xy=01,xy≠0f(x, y) = \begin{cases} 0, & xy=0 \\ 1, & xy \neq 0 \end{cases} 或 f(x,y)=∣x∣+∣y∣f(x, y) = |x| + |y|。
  4. 几何意义：曲面上空间曲线的斜率。

高阶偏导数：二阶及二阶以上。 纯偏导：∂∂x(∂f∂x)=∂2f∂x2=fxx(x,y)\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx}(x, y) 混合偏导：fxy=∂2f∂x∂yf_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}，另记 fyx=∂2f∂y∂xf_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}。谁靠近谁先求。

定理：如果函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 的两个二阶混合偏导数 ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} 及 ∂2z∂y∂x\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} 在区域 DD 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数相等。

例：令 f(x,y)={x2y2x2+y2,(x,y)≠(0,0)0,(x,y)=(0,0)f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2}, & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, & (x, y) = (0, 0) \end{cases}，证明 fxy(0,0)=fyx(0,0)f_{xy}(0, 0) = f_{yx}(0, 0)。

全微分

全增量 Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)−f(x0,y0)\Delta z = f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0) 可表示为 a1Δx+a2Δy+o(ρ)a_1 \Delta x + a_2 \Delta y + o(\rho)

ρ=Δx2+Δy2\rho = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}

a1,a2 与 Δx,Δy 无关a_1, a_2 \text{ 与 } \Delta x, \Delta y \text{ 无关}

若 z=f(x,y) 在 (x0,y0) 可微\text{若 } z=f(x,y) \text{ 在 } (x_0, y_0) \text{ 可微}

① f 在 (x0,y0) 连续\text{① } f \text{ 在 } (x_0, y_0) \text{ 连续}

② f 在 (x0,y0) 两个偏导数存在\text{② } f \text{ 在 } (x_0, y_0) \text{ 两个偏导数存在}

a1=fx(x0,y0),a2=fy(x0,y0)a_1 = f_x(x_0, y_0), \quad a_2 = f_y(x_0, y_0)

可微函数：df=∂f∂xdx+∂f∂ydy\text{可微函数：} df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy

函数可微  ⟺  偏导数存在⋆\text{函数可微} \iff \text{偏导数存在} \star

例： f(x,y)={xyx2+y2,x+y≠00,x+y=0f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 + y^2}, & x+y \neq 0 \\ 0, & x+y=0 \end{cases} Δz=ΔxΔy(Δx)2+(Δy)2\Delta z = \frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} Δz/ρ=ΔxΔyΔx2+Δy2≠0(Δxρ)\Delta z / \rho = \frac{\Delta x \Delta y}{\Delta x^2 + \Delta y^2} \neq 0 \quad \left( \frac{\Delta x}{\rho} \right)

若函数的两个偏导函数在邻域内存在且连续，则在 (x0,y0)(x_0, y_0) 可微。

由微分和方向导数的定义可知：

令 g⃗=(∂f(r⃗0)∂x1,∂f(r⃗0)∂x2,…,∂f(r⃗0)∂xn)\text{令 } \vec{g} = \left( \frac{\partial f(\vec{r}_0)}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\vec{r}_0)}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f(\vec{r}_0)}{\partial x_n} \right)

e⃗l=(cos⁡θ1,…,cos⁡θn)\vec{e}_l = (\cos \theta_1, \dots, \cos \theta_n)

∂f(r⃗0)∂l=g⃗⋅e⃗l=∥g⃗∥cos⁡⟨g⃗,e⃗l⟩\frac{\partial f(\vec{r}_0)}{\partial l} = \vec{g} \cdot \vec{e}_l = \|\vec{g}\| \cos \langle \vec{g}, \vec{e}_l \rangle

  • 梯度同向：g⃗\vec{g} 与 e⃗l\vec{e}_l 同向时，∂f(r⃗0)∂l\frac{\partial f(\vec{r}_0)}{\partial l} 最大。
  • 垂直：g⃗\vec{g} 与 e⃗l\vec{e}_l 垂直时，∂f(r⃗0)∂l\frac{\partial f(\vec{r}_0)}{\partial l} 最小。

算子定义：

  • ∇\nabla : 向量微分算子 / Nabla 算子，∇=(∂∂x1,…,∂∂xn)\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x_1}, \dots, \frac{\partial}{\partial x_n} \right)
  • Δ\Delta : Laplace 算子，Δ=∇⋅∇=∂2∂x12+∂2∂x22+⋯+∂2∂xn2\Delta = \nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^2}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2}{\partial x_2^2} + \dots + \frac{\partial^2}{\partial x_n^2}

方向导数与连续性： f(x,y)={xy2x2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=0f(x, y) = \begin{cases} \frac{xy^2}{x^2 + y^2}, & x^2 + y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2 + y^2 = 0 \end{cases} ∂f∂l(0,0)=lim⁡l→0f(0+lcos⁡θ,0+lsin⁡θ)l=lim⁡l→0lcos⁡θ⋅l2sin⁡2θl(l2cos⁡2θ+l2sin⁡2θ)=lim⁡l→0l3cos⁡θsin⁡2θl3=cos⁡θsin⁡2θ\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial l}(0,0) &= \lim_{l \to 0} \frac{f(0+l \cos \theta, 0+l \sin \theta)}{l} = \lim_{l \to 0} \frac{l \cos \theta \cdot l^2 \sin^2 \theta}{l(l^2 \cos^2 \theta + l^2 \sin^2 \theta)} \\ &= \lim_{l \to 0} \frac{l^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{l^3} = \cos \theta \sin^2 \theta \end{aligned} 结论：所有方向导数均存在，仍不能导出函数的连续性。

可微性判定链： fx,fyf_x, f_y 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 连续（或其中一个存在，另一个连续）   ⟹  f(x,y)\implies f(x, y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 可微   ⟹  f(x,y)\implies f(x, y) 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 连续。

方向导数的计算

若 nn 元函数 ff 在点 r⃗0\vec{r}_0 可微，则函数在该点沿任意方向存在，且有： ∂f(r⃗0)∂l=∑i=1n∂f(r⃗0)∂xicos⁡θi\frac{\partial f(\vec{r}_0)}{\partial l} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f(\vec{r}_0)}{\partial x_i} \cos \theta_i

多元复合函数的偏导数与全微分

df(u(x,y),v(x,y))=(∂f∂u⋅∂u∂x+∂f∂v⋅∂v∂x)dx+(∂f∂u⋅∂u∂y+∂f∂v⋅∂v∂y)dyd f(u(x, y), v(x, y)) = \left( \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} \right) dx + \left( \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} \right) dy 全微分具有形式不变性，但高阶全微分不具有此性质。 dz=∂z∂xdx+∂z∂ydy=∂z∂udu+∂z∂vdv\begin{aligned} dz &= \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \\ &= \frac{\partial z}{\partial u} du + \frac{\partial z}{\partial v} dv \end{aligned}

隐函数存在定理

若二元函数 F(x,y)F(x, y) 满足： ① F(x0,y0)=0F(x_0, y_0) = 0 ② 在 (x0,y0)(x_0, y_0) 某邻域内有连续偏导数 ③ Fy(x0,y0)≠0F_y(x_0, y_0) \neq 0 则： dydx=−FxFy\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} d2ydx2=∂∂x(−FxFy)+∂∂y(−FxFy)dydx\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{F_x}{F_y} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( -\frac{F_x}{F_y} \right) \frac{dy}{dx}

推广：若函数 F(x,y,z)F(x, y, z) 满足在 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) 邻域内有连续偏导数且 Fz≠0F_z \neq 0，则： ∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}

定理 5.5 (隐函数存在定理) 设有函数组…

{F1(x,y,u,v)=0F2(x,y,u,v)=0如果 Fi 满足:\begin{cases} F_1(x, y, u, v) = 0 \\ F_2(x, y, u, v) = 0 \end{cases} \quad \text{如果 } F_i \text{ 满足:}

(1) Fi∈C1(U(xi,yi,ui,vi)),i=1,2F_i \in C^1(U(x_i, y_i, u_i, v_i)), i=1,2

(2) Fi(xi,yi,ui,vi)=0,i=1,2F_i(x_i, y_i, u_i, v_i) = 0, i=1,2

则存在一个邻域 U(xi,yi,ui,vi)U(x_i, y_i, u_i, v_i) 和函数 u(x,y),v(x,y)u(x, y), v(x, y) 使得

∂(F1,F2)∂(u,v)∣(xi,yi,ui,vi)≠0\frac{\partial(F_1, F_2)}{\partial(u, v)} \bigg|_{(x_i, y_i, u_i, v_i)} \neq 0

多元函数的泰勒公式与极值问题

对于多元函数 f(x)f(x)，我们也可以用 (xi,xj)(x_i, x_j) 的分量所构成的多项式来逼近作为插值，先介绍 C(m)C^{(m)} 类函数的概念。

定义 4.1 设 f(x)f(x) 是定义在区域 Ω⊂Rn\Omega \subset \mathbb{R}^n 内的 nn 元函数。若 ff 在 Ω\Omega 内连续，则称 ff 是 Ω\Omega 上的 C0C^0 类函数，记为 f∈C(0)(Ω)f \in C^{(0)}(\Omega) 或 f∈C(Ω)f \in C(\Omega)。若 ff 在 Ω\Omega 内有连续的 mm 阶偏导数，则称 ff 是 Ω\Omega 上的 CmC^m 类函数，记为 f∈C(m)(Ω)f \in C^{(m)}(\Omega)。

下面定理为多元函数的 Taylor 公式的一阶形式：

定理 4.1 设 nn 元函数 f∈C(1)(U(xi))f \in C^{(1)}(U(x_i))，xi+Δx∈U(xi)x_i + \Delta x \in U(x_i)，其中 xi=(xi1,…,xin)∈Rn,Δx=(Δx1,…,Δxn)x_i = (x_{i1}, \dots, x_{in}) \in \mathbb{R}^n, \Delta x = (\Delta x_1, \dots, \Delta x_n)，则 ∃θ∈(0,1)\exists \theta \in (0, 1)，使得

f(xi+Δx)=f(xi)+∑j=1n∂f(xi)∂xjΔxj+R1(4.1)f(x_i + \Delta x) = f(x_i) + \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial f(x_i)}{\partial x_j} \Delta x_j + R_1 \quad (4.1)

其中 R1=12∑j=1n∑k=1n∂2f(xi+θΔx)∂xj∂xkΔxjΔxkR_1 = \frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2 f(x_i + \theta \Delta x)}{\partial x_j \partial x_k} \Delta x_j \Delta x_k

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