线性代数笔记
一、矩阵基础
1. 常用恒等式
若 （或 ）， 为方阵，则
这是因为 与 总是可交换。
2. 矩阵的转置
设
若矩阵 满足
则称 为 的转置，记为 。
3. 转置的性质
设 为适当阶矩阵， 为常数，则：
进一步可推广为：
(A_1A_2\cdots A_k)^T = A_k^T \cdots A_2^T A_1^T
特别地，若 $A$ 为方阵，则(A^k)^T = (A^T)^k.
--- ## 4. 对称矩阵与反对称矩阵 ### 4.1 定义 设 $A$ 为方阵。 - 若 $A^T = A$，则称 $A$ 为**对称矩阵**； - 若 $A^T = -A$，则称 $A$ 为**反对称矩阵**（也常称斜对称矩阵）。 对应到元素： - 对称矩阵：$a_{ij} = a_{ji}$； - 反对称矩阵：$a_{ij} = -a_{ji}$，特别地，主对角线元素满足 $a_{ii}=0$。 ### 4.2 基本性质 - 对称矩阵、反对称矩阵都必须是方阵； - 对称矩阵的线性组合仍为对称矩阵； - 反对称矩阵的线性组合仍为反对称矩阵。 ### 4.3 乘积不一定保持对称或反对称 即使 $A,B$ 都是对称矩阵，$AB$ 也未必仍是对称矩阵。 但若 $A,B$ 都是对称矩阵，则(AB)^T = B^T A^T = BA.
AB \text{ 为对称矩阵} \iff AB = BA.
### 4.4 任意方阵的分解 任意方阵 $A$ 都可以唯一分解为对称矩阵与反对称矩阵之和：A = \frac12(A+A^T) + \frac12(A-A^T).
B = \frac12(A+A^T), \qquad C = \frac12(A-A^T),
B^T = B, \qquad C^T = -C.
### 4.5 由非方阵构造对称矩阵 若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则A^T A \in \mathbb{R}^{n\times n}, \qquad AA^T \in \mathbb{R}^{m\times m}
(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A,
(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T.
--- # 二、线性方程组与高斯消元 ## 1. 方程组的分类 ### 齐次线性方程组AX = 0
### 非齐次线性方程组AX = b, \qquad b \ne 0
这里 $b\ne 0$ 表示 $b$ 中至少有一个分量不为零。 --- ## 2. 方程组的解 若列向量X = \begin{pmatrix} x_1\x_2\\vdots\x_n \end{pmatrix}
AX = b,
则称 $X$ 为方程组 $AX=b$ 的一个解。 --- ## 3. 初等变换 矩阵的**行初等变换**包括： 1. 交换两行； 2. 用一个非零数乘某一行； 3. 将某一行的若干倍加到另一行。 矩阵的**列初等变换**定义类似。 > 解线性方程组时，通常只对增广矩阵作**行初等变换**。 --- ## 4. 行阶梯形与简化行阶梯形 ### 行阶梯形矩阵 一个矩阵称为行阶梯形矩阵，若满足： 1. 零行都在非零行的下面； 2. 每个非零行的第一个非零元（主元）所在列，严格位于上一行主元所在列的右边。 ### 简化行阶梯形矩阵 若在行阶梯形基础上进一步满足： 1. 每个非零行的主元都为 $1$； 2. 每个主元所在列的其余元素都为 $0$， 则称为简化行阶梯形矩阵。 --- ## 5. 用高斯消元求解方程组 求解线性方程组的基本思路： - 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵； - 再根据需要继续化为简化行阶梯形矩阵； - 由此读出解。 ### 判定有解的条件 设系数矩阵为 $A$，增广矩阵为 $(A\mid b)$，则AX=b \text{ 有解} \iff r(A)=r(A\mid b).
进一步： - 若 $r(A)=r(A\mid b)=n$，则有唯一解； - 若 $r(A)=r(A\mid b)<n$，则有无穷多解； - 若 $r(A)<r(A\mid b)$，则无解。 特别地，齐次方程组AX=0
总至少有零解。 --- # 三、矩阵等价与初等矩阵 ## 1. 矩阵等价 设 $A,B$ 为同型矩阵。若 $A$ 经过有限次初等变换可以变成 $B$，则称 $A$ 与 $B$ **等价**，记作A \sim B.
若只经过行初等变换，则称 $A,B$ **行等价**； 若只经过列初等变换，则称 $A,B$ **列等价**。 矩阵等价满足： 1. 反身性：$A\sim A$； 2. 对称性：$A\sim B \Rightarrow B\sim A$； 3. 传递性：$A\sim B,\ B\sim C \Rightarrow A\sim C$。 --- ## 2. 初等矩阵 单位矩阵经过**一次**初等变换得到的矩阵称为**初等矩阵**。 ### 左乘与右乘的作用 - 初等矩阵左乘矩阵：对应行初等变换； - 初等矩阵右乘矩阵：对应列初等变换。 --- ## 3. 初等矩阵的逆 初等矩阵一定可逆，且逆矩阵仍为同类初等矩阵： - 交换两行对应的初等矩阵的逆仍是它本身； - 将第 $i$ 行乘以 $c\ne 0$ 的初等矩阵，其逆为将第 $i$ 行乘以 $\frac1c$； - 将第 $j$ 行的 $c$ 倍加到第 $i$ 行的初等矩阵，其逆为将第 $j$ 行的 $-c$ 倍加到第 $i$ 行。 --- # 四、逆矩阵 ## 1. 定义 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得AB=BA=I,
则称 $A$ 可逆，$B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{-1}$。 --- ## 2. 基本性质 1. 逆矩阵若存在，则唯一； 2. $$(A^{-1})^{-1} = A$$ 3. $$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$$ 4. $$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$$ --- ## 3. 可逆的充要条件 对 $n$ 阶方阵 $A$，下列命题等价： 1. $A$ 可逆； 2. $AX=0$ 只有零解； 3. 对任意 $b$，方程组 $AX=b$ 有唯一解； 4. $A$ 与单位矩阵 $I$ 行等价； 5. $A$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积； 6. $r(A)=n$； 7. $\det(A)\ne 0$。 --- ## 4. 伴随增广矩阵法求逆A \text{ 可逆} \iff (A\mid I)\xrightarrow{\text{行初等变换}} (I\mid A^{-1}).
这是求逆矩阵的常用方法之一。 --- # 五、特殊矩阵 ## 1. 幂等矩阵 若A^2=A,
则称 $A$ 为**幂等矩阵**。 由此可得，对于任意正整数 $k\ge 1$，A^k=A.
--- ## 2. 幂零矩阵 若存在正整数 $k$，使得A^k=0,
且对所有 $1\le l<k$ 都有 $A^l\ne 0$，则称 $A$ 为**$k$ 阶幂零矩阵**。 --- ## 3. 矩阵等比和公式 若 $A$ 为方阵，则有(I+A+A^2+\cdots+A^k)(I-A)=I-A^{k+1}.
若再满足 $I-A$ 可逆，则I+A+\cdots +A^k = (I-A^{k+1})(I-A)^{-1}.
--- # 六、分块矩阵 ## 1. 分块矩阵的乘法原则 分块矩阵能否相乘，关键取决于对应分块的尺寸是否匹配。 通常要求： - 左矩阵的列分块方式与右矩阵的行分块方式一致。 --- ## 2. 分块转置 若A=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}\ A_{21}&A_{22} \end{pmatrix},
A^T= \begin{pmatrix} A_{11}^T&A_{21}^T\ A_{12}^T&A_{22}^T \end{pmatrix}.
--- ## 3. 分块对角矩阵的逆 若D= \begin{pmatrix} A_1&&0\ &\ddots&\ 0&&A_m \end{pmatrix}
且每个 $A_i$ 都可逆，则D^{-1}= \begin{pmatrix} A_1^{-1}&&0\ &\ddots&\ 0&&A_m^{-1} \end{pmatrix}.
--- # 七、行列式 ## 1. 定义与记号 $n$ 阶矩阵 $A$ 的行列式记为\det(A) \quad \text{或} \quad |A|.
对低阶情形： - 当 $n=1$ 时，$\det(A)=a_{11}$； - 当 $n=2$ 时，\det(A)= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
--- ## 2. 三阶行列式 ### 2.1 展开公式\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}
a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{13}a_{22}a_{31}.
### 2.2 按第一行展开\begin{aligned} \det(A) &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}
a_{12} \begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}. \end{aligned}
--- ## 3. 余子式与代数余子式 对 $n$ 阶行列式中元素 $a_{ij}$： - 划去第 $i$ 行第 $j$ 列后得到的 $(n-1)$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的**余子式**，记为 $M_{ij}$； - 数A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}
称为 $a_{ij}$ 的**代数余子式**。 --- ## 4. 行列式的性质 ## 4.1 按任一行（列）展开 行列式可按任意一行或任意一列展开，结果相同。 --- ## 4.2 两行（列）相同则行列式为零 若行列式中有两行（或两列）完全相同，则行列式为 $0$。 推广：若两行（或两列）成比例，则行列式也为 $0$。 --- ## 4.3 某一行（列）可拆分时，行列式可拆分 若某一行是两个向量之和，则行列式可拆成两个行列式之和。 这体现了行列式对每一行（每一列）的线性性。 --- ## 4.4 行初等变换对行列式的影响 对 $n$ 阶矩阵 $A$： 1. 某一行乘以 $k$，则行列式也乘以 $k$； 2. 某一行加上另一行的 $k$ 倍，行列式不变； 3. 交换两行，行列式变号。 特别注意：\det(kA)=k^n\det(A),
一般**不等于** $k\det(A)$。 --- ## 4.5 三角矩阵的行列式 若 $A$ 为上三角矩阵、下三角矩阵或对角矩阵，则\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.
--- ## 5. 行列式与可逆性 对 $n$ 阶方阵 $A$：A \text{ 可逆} \iff \det(A)\ne 0.
--- ## 6. 乘法与转置 若 $A,B$ 为同阶方阵，则\det(AB)=\det(A)\det(B),
\det(A^T)=\det(A).
若 $A$ 可逆，则\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
--- ## 7. 克拉默法则 若 $A$ 为可逆方阵，则线性方程组AX=b
x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)}, \qquad j=1,2,\dots,n,
其中 $A_j$ 表示把 $A$ 的第 $j$ 列换成 $b$ 所得矩阵。 > 克拉默法则更适合理论分析，一般不用于高阶实际计算。 --- # 八、伴随矩阵 ## 1. 定义 由矩阵 $A=(a_{ij})$ 的代数余子式构成矩阵\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}
其转置称为 $A$ 的**伴随矩阵**，记为 $A^*$。 --- ## 2. 基本公式AA^* = A^*A = \det(A)I.
若 $A$ 可逆，则A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}A^*.
--- # 九、矩阵的秩 ## 1. 定义 若矩阵 $A$ 存在一个 $r$ 阶子式不为零，而所有 $r+1$ 阶子式都为零，则称 $r$ 为矩阵 $A$ 的**秩**，记为r(A) \quad \text{或} \quad R(A).
--- ## 2. 基本性质 设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则： 1. $0\le r(A)\le \min\{m,n\}$； 2. $r(A)=0 \iff A=0$； 3. $r(A^T)=r(A)$； 4. 初等变换不改变矩阵的秩； 5. 对行阶梯形矩阵，其秩等于非零行数。 --- ## 3. 与线性方程组的关系 对于非齐次方程组 $AX=b$：AX=b \text{ 有解} \iff r(A)=r(A\mid b).
若未知数个数为 $n$，则： - $r(A)=r(A\mid b)=n$：唯一解； - $r(A)=r(A\mid b)<n$：无穷多解； - $r(A)<r(A\mid b)$：无解。 --- ## 4. 标准形 任意 $m\times n$ 矩阵 $A$，若 $r(A)=r$，则存在可逆矩阵 $P,Q$，使得PAQ= \begin{pmatrix} I_r&0\ 0&0 \end{pmatrix}.
A \sim B \iff r(A)=r(B).
--- ## 5. 分块对角矩阵的秩 若M= \begin{pmatrix} A&0\ 0&B \end{pmatrix},
r(M)=r(A)+r(B).
--- # 十、空间解析几何基础 # 1. 向量及其线性运算 在三维空间中，\vec a=(a_1,a_2,a_3)
\vec a = a_1\vec i + a_2\vec j + a_3\vec k,
\vec i=(1,0,0),\quad \vec j=(0,1,0),\quad \vec k=(0,0,1).
向量可以进行加法、减法与数乘。 --- ## 2. 向量的模与方向余弦|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.
若 $\vec a\ne 0$，它与三坐标轴正向的夹角分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，则\cos\alpha=\frac{a_1}{|\vec a|},\qquad \cos\beta=\frac{a_2}{|\vec a|},\qquad \cos\gamma=\frac{a_3}{|\vec a|}.
\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.
\vec e_a=\frac{\vec a}{|\vec a|}.
--- ## 3. 向量平行\vec b=\lambda \vec a
表示 $\vec a,\vec b$ 平行。 若\vec a=(a_1,a_2,a_3),\quad \vec b=(b_1,b_2,b_3),
\vec a \parallel \vec b \iff \exists \lambda,\ \vec b=\lambda \vec a.
写成分量形式时，应理解为对应分量成比例；若某个 $a_i=0$，则必须有对应 $b_i=0$。 --- # 4. 向量的内积、外积与混合积 ## 4.1 内积\vec a\cdot \vec b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.
\vec a\cdot \vec b = |\vec a|,|\vec b|\cos\theta,
其中 $\theta$ 为 $\vec a,\vec b$ 的夹角。 因此： - $\vec a \perp \vec b \iff \vec a\cdot \vec b=0$； - 投影公式为\operatorname{proj}_{\vec u}\vec a = \frac{\vec a\cdot \vec u}{|\vec u|}.
若 $\vec u$ 为单位向量，则投影简化为 $\vec a\cdot \vec u$。 --- ## 4.2 外积 向量 $\vec a,\vec b$ 的外积记作 $\vec a\times \vec b$，它是一个向量，满足： 1. 方向垂直于 $\vec a,\vec b$ 所在平面； 2. 方向由右手法则确定； 3. 模为|\vec a\times \vec b| = |\vec a|,|\vec b|\sin\theta.
### 性质 1. $\vec a\times \vec a=\vec 0$； 2. $\vec a\times \vec 0=\vec 0$； 3. $\vec a\times \vec b = -\vec b\times \vec a$； 4. $(\lambda \vec a)\times (\mu \vec b)=\lambda\mu(\vec a\times \vec b)$； 5. $\vec a\times (\vec b+\vec c)=\vec a\times \vec b+\vec a\times \vec c$。 ### 坐标公式 若\vec a=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec b=(b_1,b_2,b_3),
\vec a\times \vec b
(a_2b_3-a_3b_2)\vec i + (a_3b_1-a_1b_3)\vec j + (a_1b_2-a_2b_1)\vec k.
\vec a\times \vec b= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\ a_1&a_2&a_3\ b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}.
--- ## 4.3 混合积 定义[\vec a,\vec b,\vec c] = (\vec a\times \vec b)\cdot \vec c.
\vec a=(a_1,a_2,a_3),\quad \vec b=(b_1,b_2,b_3),\quad \vec c=(c_1,c_2,c_3),
(\vec a\times \vec b)\cdot \vec c
\begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\ b_1&b_2&b_3\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix}.
### 几何意义|(\vec a\times \vec b)\cdot \vec c|
等于以 $\vec a,\vec b,\vec c$ 为棱的平行六面体体积。 ### 共面判定[\vec a,\vec b,\vec c]=0 \iff \vec a,\vec b,\vec c \text{ 共面}.
--- # 5. 平面方程 ## 5.1 点法式 若平面过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量为\vec n=(A,B,C),
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.
--- ## 5.2 一般式 平面的一般式为Ax+By+Cz+D=0.
\vec n=(A,B,C).
--- ## 5.3 截距式 若平面分别与三坐标轴交于 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$，则其方程为\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.
--- ## 5.4 点到平面的距离 点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面Ax+By+Cz+D=0
d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
--- # 6. 直线方程 ## 6.1 点向式（对称式） 若直线过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为\vec s=(m,n,p),
\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.
若某个分量为零，则相应式子应改写成对应坐标恒等于某常数。 --- ## 6.2 参数式\begin{cases} x=x_0+mt,\ y=y_0+nt,\ z=z_0+pt. \end{cases}
--- ## 6.3 点到直线的距离 设点 $M_0$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，直线上一点为 $M_1$，方向向量为 $\vec s$，则d=\frac{|\overrightarrow{M_1M_0}\times \vec s|}{|\vec s|}.
--- # 7. 空间位置关系 ## 7.1 两平面的夹角 两个平面的夹角等于它们法向量的夹角（通常取锐角）：\cos\theta
\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.
### 平行与重合 平面A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\qquad A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2};
\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}.
--- ## 7.2 两直线的夹角 若两直线的方向向量分别为\vec s_1=(m_1,n_1,p_1),\qquad \vec s_2=(m_2,n_2,p_2),
\cos\theta
\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|} {\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}.
若再取两直线上一点 $M_1,M_2$，则[\vec s_1,\vec s_2,\overrightarrow{M_1M_2}]=0
是两直线共面的判定条件。 --- ## 7.3 直线与平面的夹角 设直线方向向量为 $(m,n,p)$，平面法向量为 $(A,B,C)$，则直线与平面的夹角 $\theta$ 满足\sin\theta
\frac{|Am+Bn+Cp|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}.
--- ## 7.4 平面束 过两个平面\Pi_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,
\Pi_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0
\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,
其中 $\lambda,\mu$ 不同时为零。 常写成\Pi_1+\lambda \Pi_2=0.
--- # 十一、$n$ 维向量空间 ## 1. 基本概念 - 分量为实数的向量称为实向量； - $\mathbb{R}^n$ 称为 $n$ 维实向量空间。 --- ## 2. 向量组的线性相关与线性无关 设向量组为\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m.
若存在不全为零的数 $k_1,\dots,k_m$，使k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m=0,
则称其**线性相关**；否则称**线性无关**。 --- ## 3. 线性相关的等价命题 设 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)$，则以下命题等价： 1. $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性相关； 2. 齐次方程组 $AX=0$ 有非零解； 3. $r(A)<m$。 若 $m=n$，则还等价于\det(A)=0.
--- ## 4. 线性表示与秩 记L(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)
为向量组的全部线性组合所成集合。 向量 $\beta$ 能由 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性表示，当且仅当方程组AX=\beta
r(A)=r(A\mid \beta).
--- ## 5. 极大无关组与向量组的秩 - 一个向量组中，线性无关且不能再加入原组中其它向量而保持线性无关的向量子组，称为**极大无关组**； - 极大无关组所含向量个数称为该向量组的**秩**。 性质： 1. 极大无关组不唯一； 2. 向量组的秩唯一； 3. 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩。 --- # 十二、基、维数与坐标 ## 1. 基 在 $\mathbb{R}^n$ 中，若向量组\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n
线性无关，则它构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。 标准基为e_1=(1,0,\dots,0),\quad e_2=(0,1,\dots,0),\quad \dots,\quad e_n=(0,0,\dots,1).
--- ## 2. 过渡矩阵 若两组基满足(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n)
(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)P,
则 $P$ 称为从基 $\alpha$ 到基 $\beta$ 的过渡矩阵。 若向量 $x$ 在两组基下的坐标分别为 $X,Y$，则有X = PY \quad \text{或} \quad Y=P^{-1}X,
具体形式取决于坐标列向量的约定方式，但本质都是基变换。 --- # 十三、线性方程组解的结构 ## 1. 齐次线性方程组 对于AX=0,
有： - 若 $r(A)=n$，则只有零解； - 若 $r(A)<n$，则有非零解。 若 $r(A)=r<n$，则其基础解系含有n-r
X = k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_s\eta_s, \qquad s=n-r(A).
--- ## 2. 非齐次线性方程组 对于AX=b,
若 $\eta_0$ 是一个特解，而\xi_1,\dots,\xi_s
是导出组 $AX=0$ 的基础解系，则通解为X=\eta_0+k_1\xi_1+\cdots+k_s\xi_s.
即： > 非齐次方程组的任一解 = 一个特解 + 对应齐次方程组的任一解。 --- # 十四、特征值与特征向量 ## 1. 定义 若存在数 $\lambda$ 与非零向量 $\alpha$，使得A\alpha = \lambda \alpha,
则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，$\alpha$ 为对应于 $\lambda$ 的特征向量。 --- ## 2. 求法 先解特征方程\det(\lambda I-A)=0,
求出全部特征值； 再对每个特征值 $\lambda_i$ 解方程组(\lambda_i I-A)X=0,
求出对应特征向量。 --- ## 3. 几何重数与代数重数 - **代数重数**：特征值作为特征多项式根的重数； - **几何重数**：对应特征子空间的维数。 总有\text{几何重数}\le \text{代数重数}.
--- ## 4. 特征值与迹、行列式 设 $A$ 的全部特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n,
\det(A)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.
因此若 $A$ 可逆，则 $0$ 不是它的特征值。 --- ## 5. 一些常见结论 ### 行和相等时 若矩阵每一行元素和都等于同一个数 $s$，则\begin{pmatrix} 1\1\\vdots\1 \end{pmatrix}
是特征向量，对应特征值为 $s$。 ### 与逆矩阵的关系 若 $A$ 可逆，且 $A\alpha=\lambda\alpha$，则A^{-1}\alpha=\frac{1}{\lambda}\alpha.
即 $A$ 与 $A^{-1}$ 具有相同的特征向量，对应特征值互为倒数。 --- # 十五、矩阵的相似与对角化 ## 1. 相似的定义 若存在可逆矩阵 $P$，使P^{-1}AP=B,
则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作A\sim B.
--- ## 2. 相似的性质 相似关系满足： 1. 反身性； 2. 对称性； 3. 传递性。 并且相似矩阵有相同的： - 特征值； - 特征多项式； - 行列式； - 迹。 --- ## 3. 相似对角化 矩阵 $A$ 可相似对角化，指存在可逆矩阵 $P$ 使P^{-1}AP=\Lambda
其中 $\Lambda$ 为对角矩阵。 ### 充要条件 $n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的充要条件是：A \text{ 有 } n \text{ 个线性无关的特征向量}.
若 $A$ 有 $n$ 个互异特征值，则一定可相似对角化。 更一般地，$A$ 可相似对角化当且仅当每个特征值的几何重数等于其代数重数。 --- # 十六、内积空间与正交化 ## 1. $\mathbb{R}^n$ 中的内积 对\alpha=(a_1,\dots,a_n),\qquad \beta=(b_1,\dots,b_n),
(\alpha,\beta)=a_1b_1+\cdots+a_nb_n.
|\alpha|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}.
--- ## 2. 柯西—施瓦茨不等式(\alpha,\beta)^2 \le |\alpha|^2|\beta|^2,
当且仅当 $\alpha,\beta$ 线性相关时取等号。 --- ## 3. 正交向量组 若(\alpha_i,\alpha_j)=0 \quad (i\ne j),
则称向量组两两正交。 性质： - 非零正交向量组一定线性无关； - 若每个向量模都为 $1$，则称为标准正交向量组。 --- ## 4. Gram-Schmidt 正交化 对线性无关向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$，定义：\beta_1=\alpha_1,
\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,
\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2,
\beta_s=\alpha_s-\sum_{i=1}^{s-1}\frac{(\alpha_s,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i.
\gamma_i=\frac{\beta_i}{|\beta_i|},
可得到标准正交组。 --- # 十七、正交矩阵与实对称矩阵 ## 1. 正交矩阵 若 $A$ 满足A^TA=AA^T=I,
则称 $A$ 为正交矩阵。 性质： 1. $A^{-1}=A^T$； 2. $\det(A)=\pm 1$； 3. 正交矩阵的列向量组（行向量组）是标准正交组； 4. 两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵。 --- ## 2. 实对称矩阵的性质 若 $A^T=A$，则 $A$ 为实对称矩阵。 ### 重要结论 1. 实对称矩阵的特征值都为实数； 2. 对应不同特征值的特征向量彼此正交； 3. 任一实对称矩阵都能被正交对角化。 即存在正交矩阵 $C$，使C^TAC=\Lambda,
其中 $\Lambda$ 为对角矩阵。 --- ## 3. 实对称矩阵正交对角化步骤 1. 求特征值； 2. 对每个特征值求特征子空间的基； 3. 对重根对应的特征向量组做正交化并单位化； 4. 将得到的标准正交特征向量依次排成矩阵 $C$ 的列； 5. 则C^TAC=\Lambda.
--- # 十八、二次型 ## 1. 二次型的矩阵表示 二次型一般写成f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j.
X= \begin{pmatrix} x_1\x_2\\vdots\x_n \end{pmatrix},
f(X)=X^TAX.
其中可总取 $A$ 为对称矩阵。 --- ## 2. 合同变换 若作可逆线性变换X=CY,
f(X)=Y^T(C^TAC)Y.
若存在可逆矩阵 $C$ 使B=C^TAC,
则称矩阵 $A,B$ **合同**。 --- ## 3. 标准形与规范形 任一实二次型都可经可逆线性变换化为标准形d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2.
y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2.
其中： - $r$ 为二次型的秩； - $p$ 为正惯性指数； - $r-p$ 为负惯性指数。 惯性指数在合同变换下不变。 --- ## 4. 用正交变换化为标准形 若 $A$ 为实对称矩阵，则二次型f(X)=X^TAX
可通过正交变换化为标准形。 这本质上来自实对称矩阵的正交对角化。 --- # 十九、正定二次型 ## 1. 定义 若对任意非零向量 $X$，都有X^TAX>0,
则称 $f(X)=X^TAX$ 为**正定二次型**，$A$ 为**正定矩阵**。 这里默认 $A$ 为实对称矩阵。 --- ## 2. 正定的等价条件 对实对称矩阵 $A$，以下命题等价： 1. $A$ 正定； 2. $A$ 的特征值全为正； 3. 二次型的正惯性指数为 $n$； 4. $A$ 与单位矩阵 $I$ 合同； 5. 存在可逆矩阵 $P$，使A=P^TP;
6. $A$ 的所有顺序主子式都大于 $0$。 --- ## 3. 顺序主子式 对 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$，定义P_k= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk} \end{vmatrix}, \qquad k=1,2,\dots,n.
这些 $P_k$ 称为 $A$ 的顺序主子式。 正定矩阵判定准则之一：A \text{ 正定} \iff P_k>0 \quad (k=1,2,\dots,n).
--- ## 4. 负定、半正定、半负定、不定 对二次型 $f(X)=X^TAX$： - 若对任意非零 $X$，$f(X)<0$，则为**负定**； - 若对任意 $X$，$f(X)\ge 0$，则为**半正定**； - 若对任意 $X$，$f(X)\le 0$，则为**半负定**； - 以上都不满足，则为**不定**。 --- # 二十、Rayleigh 商 对实对称矩阵 $A$ 及非零向量 $x$，定义 Rayleigh 商R_A(x)=\frac{x^TAx}{x^Tx}.
若 $A$ 的特征值满足\lambda_{\min}\le \lambda_{\max},
\lambda_{\min} \le \frac{x^TAx}{x^Tx} \le \lambda_{\max}.
\lambda_{\min}=\min_{x\ne 0}\frac{x^TAx}{x^Tx}, \qquad \lambda_{\max}=\max_{x\ne 0}\frac{x^TAx}{x^Tx}.
--- # 二十一、二次曲面与空间曲线（提纲整理） > 原笔记这一部分更偏“课堂速记”，存在不少未展开的中间步骤。这里仅保留有明确定义与可直接复习的核心部分。 ## 1. 柱面 若曲面方程缺少一个变量，则母线平行于对应坐标轴： - $F(x,y)=0$：母线平行于 $z$ 轴； - $F(x,z)=0$：母线平行于 $y$ 轴； - $F(y,z)=0$：母线平行于 $x$ 轴。 常见例子： - 椭圆柱面：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1;
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1;
x^2=2py \quad \text{或} \quad y^2=2px.
--- ## 2. 旋转曲面 平面曲线绕一条定直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面。 常见例子： - 圆锥面； - 旋转抛物面； - 球面。 --- ## 3. 空间曲线的参数方程 空间曲线常可写成\begin{cases} x=x(t),\ y=y(t),\ z=z(t). \end{cases}
\begin{cases} x=a\cos t,\ y=a\sin t,\ z=bt. \end{cases}
--- ## 4. 二次曲面分类（只保留课堂中出现的核心类型） 标准化后常见类型包括： - 椭球面； - 球面； - 单叶双曲面； - 双叶双曲面； - 椭圆抛物面； - 双曲抛物面； - 旋转抛物面。Linked Notes
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