一、矩阵基础

1. 常用恒等式

若 $\lambda \in \mathbb{R}$（或 $\mathbb{C}$），$A$ 为方阵，则

$$(\lambda I + A)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (\lambda I)^{n-k} A^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \lambda^{\,n-k} A^k.$$

这是因为 $\lambda I$ 与 $A$ 总是可交换。

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2. 矩阵的转置

设

$$A = (a_{ij})_{m \times n},$$

若矩阵 $B = (b_{ij})_{n \times m}$ 满足

$$b_{ij} = a_{ji},$$

则称 $B$ 为 $A$ 的转置，记为 $A^T$。

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3. 转置的性质

设 $A,B$ 为适当阶矩阵，$k$ 为常数，则：

1. $(A^T)^T = A$
2. $(A+B)^T = A^T + B^T$
3. $(kA)^T = kA^T$
4. $(AB)^T = B^T A^T$

进一步可推广为：

5. $(ABC)^T = C^T B^T A^T$
6. $(A_1A_2\cdots A_k)^T = A_k^T \cdots A_2^T A_1^T$

特别地，若 $A$ 为方阵，则

$$(A^k)^T = (A^T)^k.$$

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4. 对称矩阵与反对称矩阵

4.1 定义

设 $A$ 为方阵。

• 若 $A^T = A$，则称 $A$ 为对称矩阵；
• 若 $A^T = -A$，则称 $A$ 为反对称矩阵（也常称斜对称矩阵）。

对应到元素：

• 对称矩阵：$a_{ij} = a_{ji}$；
• 反对称矩阵：$a_{ij} = -a_{ji}$，特别地，主对角线元素满足 $a_{ii}=0$。

4.2 基本性质

• 对称矩阵、反对称矩阵都必须是方阵；
• 对称矩阵的线性组合仍为对称矩阵；
• 反对称矩阵的线性组合仍为反对称矩阵。

4.3 乘积不一定保持对称或反对称

即使 $A,B$ 都是对称矩阵，$AB$ 也未必仍是对称矩阵。

但若 $A,B$ 都是对称矩阵，则

$$(AB)^T = B^T A^T = BA.$$

因此

$$AB \text{ 为对称矩阵} \iff AB = BA.$$

4.4 任意方阵的分解

任意方阵 $A$ 都可以唯一分解为对称矩阵与反对称矩阵之和：

$$A = \frac12(A+A^T) + \frac12(A-A^T).$$

其中

$$B = \frac12(A+A^T), \qquad C = \frac12(A-A^T),$$

满足

$$B^T = B, \qquad C^T = -C.$$

4.5 由非方阵构造对称矩阵

若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则

$$A^T A \in \mathbb{R}^{n\times n}, \qquad AA^T \in \mathbb{R}^{m\times m}$$

都是对称矩阵，因为

$$(A^T A)^T = A^T (A^T)^T = A^T A,$$ $$(AA^T)^T = (A^T)^T A^T = AA^T.$$

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二、线性方程组与高斯消元

1. 方程组的分类

齐次线性方程组

$$AX = 0$$

非齐次线性方程组

$$AX = b, \qquad b \ne 0$$

这里 $b\ne 0$ 表示 $b$ 中至少有一个分量不为零。

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2. 方程组的解

若列向量

$$X = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix}$$

满足

$$AX = b,$$

则称 $X$ 为方程组 $AX=b$ 的一个解。

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3. 初等变换

矩阵的行初等变换包括：

1. 交换两行；
2. 用一个非零数乘某一行；
3. 将某一行的若干倍加到另一行。

矩阵的列初等变换定义类似。

解线性方程组时，通常只对增广矩阵作行初等变换。

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4. 行阶梯形与简化行阶梯形

行阶梯形矩阵

一个矩阵称为行阶梯形矩阵，若满足：

1. 零行都在非零行的下面；
2. 每个非零行的第一个非零元（主元）所在列，严格位于上一行主元所在列的右边。

简化行阶梯形矩阵

若在行阶梯形基础上进一步满足：

1. 每个非零行的主元都为 $1$；
2. 每个主元所在列的其余元素都为 $0$，

则称为简化行阶梯形矩阵。

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5. 用高斯消元求解方程组

求解线性方程组的基本思路：

• 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵；
• 再根据需要继续化为简化行阶梯形矩阵；
• 由此读出解。

判定有解的条件

设系数矩阵为 $A$，增广矩阵为 $(A\mid b)$，则

$$AX=b \text{ 有解} \iff r(A)=r(A\mid b).$$

进一步：

• 若 $r(A)=r(A\mid b)=n$，则有唯一解；
• 若 $r(A)=r(A\mid b)<n$，则有无穷多解；
• 若 $r(A)<r(A\mid b)$，则无解。

特别地，齐次方程组

$$AX=0$$

总至少有零解。

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三、矩阵等价与初等矩阵

1. 矩阵等价

设 $A,B$ 为同型矩阵。若 $A$ 经过有限次初等变换可以变成 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作

$$A \sim B.$$

若只经过行初等变换，则称 $A,B$ 行等价；
若只经过列初等变换，则称 $A,B$ 列等价。

矩阵等价满足：

1. 反身性：$A\sim A$；
2. 对称性：$A\sim B \Rightarrow B\sim A$；
3. 传递性：$A\sim B,\ B\sim C \Rightarrow A\sim C$。

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2. 初等矩阵

单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

左乘与右乘的作用

• 初等矩阵左乘矩阵：对应行初等变换；
• 初等矩阵右乘矩阵：对应列初等变换。

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3. 初等矩阵的逆

初等矩阵一定可逆，且逆矩阵仍为同类初等矩阵：

• 交换两行对应的初等矩阵的逆仍是它本身；
• 将第 $i$ 行乘以 $c\ne 0$ 的初等矩阵，其逆为将第 $i$ 行乘以 $\frac1c$；
• 将第 $j$ 行的 $c$ 倍加到第 $i$ 行的初等矩阵，其逆为将第 $j$ 行的 $-c$ 倍加到第 $i$ 行。

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四、逆矩阵

1. 定义

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵。若存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得

$$AB=BA=I,$$

则称 $A$ 可逆，$B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记为 $A^{-1}$。

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2. 基本性质

1. 逆矩阵若存在，则唯一；
2. $(A^{-1})^{-1} = A$
3. $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
4. $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$

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3. 可逆的充要条件

对 $n$ 阶方阵 $A$，下列命题等价：

1. $A$ 可逆；
2. $AX=0$ 只有零解；
3. 对任意 $b$，方程组 $AX=b$ 有唯一解；
4. $A$ 与单位矩阵 $I$ 行等价；
5. $A$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积；
6. $r(A)=n$；
7. $\det(A)\ne 0$。

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4. 伴随增广矩阵法求逆

$$A \text{ 可逆} \iff (A\mid I)\xrightarrow{\text{行初等变换}} (I\mid A^{-1}).$$

这是求逆矩阵的常用方法之一。

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五、特殊矩阵

1. 幂等矩阵

若

$$A^2=A,$$

则称 $A$ 为幂等矩阵。

由此可得，对于任意正整数 $k\ge 1$，

$$A^k=A.$$

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2. 幂零矩阵

若存在正整数 $k$，使得

$$A^k=0,$$

且对所有 $1\le l<k$ 都有 $A^l\ne 0$，则称 $A$ 为**$k$ 阶幂零矩阵**。

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3. 矩阵等比和公式

若 $A$ 为方阵，则有

$$(I+A+A^2+\cdots+A^k)(I-A)=I-A^{k+1}.$$

若再满足 $I-A$ 可逆，则

$$I+A+\cdots +A^k = (I-A^{k+1})(I-A)^{-1}.$$

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六、分块矩阵

1. 分块矩阵的乘法原则

分块矩阵能否相乘，关键取决于对应分块的尺寸是否匹配。
通常要求：

• 左矩阵的列分块方式与右矩阵的行分块方式一致。

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2. 分块转置

若

$$A=\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}\\ A_{21}&A_{22} \end{pmatrix},$$

则

$$A^T= \begin{pmatrix} A_{11}^T&A_{21}^T\\ A_{12}^T&A_{22}^T \end{pmatrix}.$$

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3. 分块对角矩阵的逆

若

$$D= \begin{pmatrix} A_1&&0\\ &\ddots&\\ 0&&A_m \end{pmatrix}$$

且每个 $A_i$ 都可逆，则

$$D^{-1}= \begin{pmatrix} A_1^{-1}&&0\\ &\ddots&\\ 0&&A_m^{-1} \end{pmatrix}.$$

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七、行列式

1. 定义与记号

$n$ 阶矩阵 $A$ 的行列式记为

$$\det(A) \quad \text{或} \quad |A|.$$

对低阶情形：

• 当 $n=1$ 时，$\det(A)=a_{11}$；
• 当 $n=2$ 时，

$$\det(A)= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

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2. 三阶行列式

2.1 展开公式

$$\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{13}a_{22}a_{31}.$$

2.2 按第一行展开

$$\begin{aligned} \det(A) &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{vmatrix}. \end{aligned}$$

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3. 余子式与代数余子式

对 $n$ 阶行列式中元素 $a_{ij}$：

• 划去第 $i$ 行第 $j$ 列后得到的 $(n-1)$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$；
• 数

$$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$$

称为 $a_{ij}$ 的代数余子式。

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4. 行列式的性质

4.1 按任一行（列）展开

行列式可按任意一行或任意一列展开，结果相同。

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4.2 两行（列）相同则行列式为零

若行列式中有两行（或两列）完全相同，则行列式为 $0$。

推广：若两行（或两列）成比例，则行列式也为 $0$。

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4.3 某一行（列）可拆分时，行列式可拆分

若某一行是两个向量之和，则行列式可拆成两个行列式之和。
这体现了行列式对每一行（每一列）的线性性。

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4.4 行初等变换对行列式的影响

对 $n$ 阶矩阵 $A$：

1. 某一行乘以 $k$，则行列式也乘以 $k$；
2. 某一行加上另一行的 $k$ 倍，行列式不变；
3. 交换两行，行列式变号。

特别注意：

$$\det(kA)=k^n\det(A),$$

一般不等于 $k\det(A)$。

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4.5 三角矩阵的行列式

若 $A$ 为上三角矩阵、下三角矩阵或对角矩阵，则

$$\det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}.$$

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5. 行列式与可逆性

对 $n$ 阶方阵 $A$：

$$A \text{ 可逆} \iff \det(A)\ne 0.$$

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6. 乘法与转置

若 $A,B$ 为同阶方阵，则

$$\det(AB)=\det(A)\det(B),$$ $$\det(A^T)=\det(A).$$

若 $A$ 可逆，则

$$\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.$$

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7. 克拉默法则

若 $A$ 为可逆方阵，则线性方程组

$$AX=b$$

有唯一解，且

$$x_j=\frac{\det(A_j)}{\det(A)}, \qquad j=1,2,\dots,n,$$

其中 $A_j$ 表示把 $A$ 的第 $j$ 列换成 $b$ 所得矩阵。

克拉默法则更适合理论分析，一般不用于高阶实际计算。

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八、伴随矩阵

1. 定义

由矩阵 $A=(a_{ij})$ 的代数余子式构成矩阵

$$\begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1n}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{n1}&A_{n2}&\cdots&A_{nn} \end{pmatrix}$$

其转置称为 $A$ 的伴随矩阵，记为 $A^*$。

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2. 基本公式

$$AA^* = A^*A = \det(A)I.$$

若 $A$ 可逆，则

$$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}A^*.$$

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九、矩阵的秩

1. 定义

若矩阵 $A$ 存在一个 $r$ 阶子式不为零，而所有 $r+1$ 阶子式都为零，则称 $r$ 为矩阵 $A$ 的秩，记为

$$r(A) \quad \text{或} \quad R(A).$$

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2. 基本性质

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，则：

1. $0\le r(A)\le \min\{m,n\}$；
2. $r(A)=0 \iff A=0$；
3. $r(A^T)=r(A)$；
4. 初等变换不改变矩阵的秩；
5. 对行阶梯形矩阵，其秩等于非零行数。

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3. 与线性方程组的关系

对于非齐次方程组 $AX=b$：

$$AX=b \text{ 有解} \iff r(A)=r(A\mid b).$$

若未知数个数为 $n$，则：

• $r(A)=r(A\mid b)=n$：唯一解；
• $r(A)=r(A\mid b)<n$：无穷多解；
• $r(A)<r(A\mid b)$：无解。

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4. 标准形

任意 $m\times n$ 矩阵 $A$，若 $r(A)=r$，则存在可逆矩阵 $P,Q$，使得

$$PAQ= \begin{pmatrix} I_r&0\\ 0&0 \end{pmatrix}.$$

这称为矩阵的标准形。

因此：

$$A \sim B \iff r(A)=r(B).$$

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5. 分块对角矩阵的秩

若

$$M= \begin{pmatrix} A&0\\ 0&B \end{pmatrix},$$

则

$$r(M)=r(A)+r(B).$$

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十、空间解析几何基础

1. 向量及其线性运算

在三维空间中，

$$\vec a=(a_1,a_2,a_3)$$

可写为

$$\vec a = a_1\vec i + a_2\vec j + a_3\vec k,$$

其中

$$\vec i=(1,0,0),\quad \vec j=(0,1,0),\quad \vec k=(0,0,1).$$

向量可以进行加法、减法与数乘。

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2. 向量的模与方向余弦

$$\|\vec a\|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.$$

若 $\vec a\ne 0$，它与三坐标轴正向的夹角分别为 $\alpha,\beta,\gamma$，则

$$\cos\alpha=\frac{a_1}{\|\vec a\|},\qquad \cos\beta=\frac{a_2}{\|\vec a\|},\qquad \cos\gamma=\frac{a_3}{\|\vec a\|}.$$

并且

$$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1.$$

单位向量为

$$\vec e_a=\frac{\vec a}{\|\vec a\|}.$$

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3. 向量平行

$$\vec b=\lambda \vec a$$

表示 $\vec a,\vec b$ 平行。

若

$$\vec a=(a_1,a_2,a_3),\quad \vec b=(b_1,b_2,b_3),$$

则

$$\vec a \parallel \vec b \iff \exists \lambda,\ \vec b=\lambda \vec a.$$

写成分量形式时，应理解为对应分量成比例；若某个 $a_i=0$，则必须有对应 $b_i=0$。

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4. 向量的内积、外积与混合积

4.1 内积

$$\vec a\cdot \vec b = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$

并且

$$\vec a\cdot \vec b = \|\vec a\|\,\|\vec b\|\cos\theta,$$

其中 $\theta$ 为 $\vec a,\vec b$ 的夹角。

因此：

• $\vec a \perp \vec b \iff \vec a\cdot \vec b=0$；
• 投影公式为

$$\operatorname{proj}_{\vec u}\vec a = \frac{\vec a\cdot \vec u}{\|\vec u\|}.$$

若 $\vec u$ 为单位向量，则投影简化为 $\vec a\cdot \vec u$。

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4.2 外积

向量 $\vec a,\vec b$ 的外积记作 $\vec a\times \vec b$，它是一个向量，满足：

1. 方向垂直于 $\vec a,\vec b$ 所在平面；
2. 方向由右手法则确定；
3. 模为

$$\|\vec a\times \vec b\| = \|\vec a\|\,\|\vec b\|\sin\theta.$$

性质

1. $\vec a\times \vec a=\vec 0$；
2. $\vec a\times \vec 0=\vec 0$；
3. $\vec a\times \vec b = -\vec b\times \vec a$；
4. $(\lambda \vec a)\times (\mu \vec b)=\lambda\mu(\vec a\times \vec b)$；
5. $\vec a\times (\vec b+\vec c)=\vec a\times \vec b+\vec a\times \vec c$。

坐标公式

若

$$\vec a=(a_1,a_2,a_3),\qquad \vec b=(b_1,b_2,b_3),$$

则

$$\vec a\times \vec b = (a_2b_3-a_3b_2)\vec i + (a_3b_1-a_1b_3)\vec j + (a_1b_2-a_2b_1)\vec k.$$

也可写成形式记号：

$$\vec a\times \vec b= \begin{vmatrix} \vec i&\vec j&\vec k\\ a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3 \end{vmatrix}.$$

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4.3 混合积

定义

$$[\vec a\,\vec b\,\vec c] = (\vec a\times \vec b)\cdot \vec c.$$

若

$$\vec a=(a_1,a_2,a_3),\quad \vec b=(b_1,b_2,b_3),\quad \vec c=(c_1,c_2,c_3),$$

则

$$(\vec a\times \vec b)\cdot \vec c = \begin{vmatrix} a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3 \end{vmatrix}.$$

几何意义

$$|(\vec a\times \vec b)\cdot \vec c|$$

等于以 $\vec a,\vec b,\vec c$ 为棱的平行六面体体积。

共面判定

$$[\vec a\,\vec b\,\vec c]=0 \iff \vec a,\vec b,\vec c \text{ 共面}.$$

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5. 平面方程

5.1 点法式

若平面过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，法向量为

$$\vec n=(A,B,C),$$

则平面方程为

$$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0.$$

---

5.2 一般式

平面的一般式为

$$Ax+By+Cz+D=0.$$

法向量为

$$\vec n=(A,B,C).$$

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5.3 截距式

若平面分别与三坐标轴交于 $(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$，则其方程为

$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$$

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5.4 点到平面的距离

点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$ 到平面

$$Ax+By+Cz+D=0$$

的距离为

$$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.$$

---

6. 直线方程

6.1 点向式（对称式）

若直线过点 $M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为

$$\vec s=(m,n,p),$$

则直线方程可写为

$$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}.$$

若某个分量为零，则相应式子应改写成对应坐标恒等于某常数。

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6.2 参数式

$$\begin{cases} x=x_0+mt,\\ y=y_0+nt,\\ z=z_0+pt. \end{cases}$$

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6.3 点到直线的距离

设点 $M_0$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$，直线上一点为 $M_1$，方向向量为 $\vec s$，则

$$d=\frac{\|\overrightarrow{M_1M_0}\times \vec s\|}{\|\vec s\|}.$$

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7. 空间位置关系

7.1 两平面的夹角

两个平面的夹角等于它们法向量的夹角（通常取锐角）：

$$\cos\theta = \frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|} {\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}.$$

平行与重合

平面

$$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,\qquad A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$

• 平行：

$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\ne \frac{D_1}{D_2};$$

• 重合：

$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}= \frac{D_1}{D_2}.$$

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7.2 两直线的夹角

若两直线的方向向量分别为

$$\vec s_1=(m_1,n_1,p_1),\qquad \vec s_2=(m_2,n_2,p_2),$$

则夹角满足

$$\cos\theta = \frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|} {\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}.$$

若再取两直线上一点 $M_1,M_2$，则

$$[\vec s_1\,\vec s_2\,\overrightarrow{M_1M_2}]=0$$

是两直线共面的判定条件。

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7.3 直线与平面的夹角

设直线方向向量为 $(m,n,p)$，平面法向量为 $(A,B,C)$，则直线与平面的夹角 $\theta$ 满足

$$\sin\theta = \frac{|Am+Bn+Cp|} {\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}.$$

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7.4 平面束

过两个平面

$$\Pi_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$$ $$\Pi_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$$

的交线的所有平面可表示为

$$\lambda(A_1x+B_1y+C_1z+D_1)+\mu(A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0,$$

其中 $\lambda,\mu$ 不同时为零。

常写成

$$\Pi_1+\lambda \Pi_2=0.$$

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十一、$n$ 维向量空间

1. 基本概念

• 分量为实数的向量称为实向量；
• $\mathbb{R}^n$ 称为 $n$ 维实向量空间。

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2. 向量组的线性相关与线性无关

设向量组为

$$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m.$$

若存在不全为零的数 $k_1,\dots,k_m$，使

$$k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m=0,$$

则称其线性相关；否则称线性无关。

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3. 线性相关的等价命题

设 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)$，则以下命题等价：

1. $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性相关；
2. 齐次方程组 $AX=0$ 有非零解；
3. $r(A)<m$。

若 $m=n$，则还等价于

$$\det(A)=0.$$

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4. 线性表示与秩

记

$$L(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_m)$$

为向量组的全部线性组合所成集合。

向量 $\beta$ 能由 $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ 线性表示，当且仅当方程组

$$AX=\beta$$

有解，也即

$$r(A)=r(A\mid \beta).$$

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5. 极大无关组与向量组的秩

• 一个向量组中，线性无关且不能再加入原组中其它向量而保持线性无关的向量子组，称为极大无关组；
• 极大无关组所含向量个数称为该向量组的秩。

性质：

1. 极大无关组不唯一；
2. 向量组的秩唯一；
3. 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩。

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十二、基、维数与坐标

1. 基

在 $\mathbb{R}^n$ 中，若向量组

$$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$$

线性无关，则它构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基。

标准基为

$$e_1=(1,0,\dots,0),\quad e_2=(0,1,\dots,0),\quad \dots,\quad e_n=(0,0,\dots,1).$$

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2. 过渡矩阵

若两组基满足

$$(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) = (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)P,$$

则 $P$ 称为从基 $\alpha$ 到基 $\beta$ 的过渡矩阵。

若向量 $x$ 在两组基下的坐标分别为 $X,Y$，则有

$$X = PY \quad \text{或} \quad Y=P^{-1}X,$$

具体形式取决于坐标列向量的约定方式，但本质都是基变换。

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十三、线性方程组解的结构

1. 齐次线性方程组

对于

$$AX=0,$$

有：

• 若 $r(A)=n$，则只有零解；
• 若 $r(A)<n$，则有非零解。

若 $r(A)=r<n$，则其基础解系含有

$$n-r$$

个线性无关解向量。

通解可写成

$$X = k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_s\eta_s, \qquad s=n-r(A).$$

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2. 非齐次线性方程组

对于

$$AX=b,$$

若 $\eta_0$ 是一个特解，而

$$\xi_1,\dots,\xi_s$$

是导出组 $AX=0$ 的基础解系，则通解为

$$X=\eta_0+k_1\xi_1+\cdots+k_s\xi_s.$$

即：

非齐次方程组的任一解 = 一个特解 + 对应齐次方程组的任一解。

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十四、特征值与特征向量

1. 定义

若存在数 $\lambda$ 与非零向量 $\alpha$，使得

$$A\alpha = \lambda \alpha,$$

则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，$\alpha$ 为对应于 $\lambda$ 的特征向量。

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2. 求法

先解特征方程

$$\det(\lambda I-A)=0,$$

求出全部特征值；

再对每个特征值 $\lambda_i$ 解方程组

$$(\lambda_i I-A)X=0,$$

求出对应特征向量。

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3. 几何重数与代数重数

• 代数重数：特征值作为特征多项式根的重数；
• 几何重数：对应特征子空间的维数。

总有

$$\text{几何重数}\le \text{代数重数}.$$

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4. 特征值与迹、行列式

设 $A$ 的全部特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，则

$$\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n,$$ $$\det(A)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n.$$

因此若 $A$ 可逆，则 $0$ 不是它的特征值。

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5. 一些常见结论

行和相等时

若矩阵每一行元素和都等于同一个数 $s$，则

$$\begin{pmatrix} 1\\1\\\vdots\\1 \end{pmatrix}$$

是特征向量，对应特征值为 $s$。

与逆矩阵的关系

若 $A$ 可逆，且 $A\alpha=\lambda\alpha$，则

$$A^{-1}\alpha=\frac{1}{\lambda}\alpha.$$

即 $A$ 与 $A^{-1}$ 具有相同的特征向量，对应特征值互为倒数。

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十五、矩阵的相似与对角化

1. 相似的定义

若存在可逆矩阵 $P$，使

$$P^{-1}AP=B,$$

则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作

$$A\sim B.$$

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2. 相似的性质

相似关系满足：

1. 反身性；
2. 对称性；
3. 传递性。

并且相似矩阵有相同的：

• 特征值；
• 特征多项式；
• 行列式；
• 迹。

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3. 相似对角化

矩阵 $A$ 可相似对角化，指存在可逆矩阵 $P$ 使

$$P^{-1}AP=\Lambda$$

其中 $\Lambda$ 为对角矩阵。

充要条件

$n$ 阶矩阵 $A$ 可相似对角化的充要条件是：

$$A \text{ 有 } n \text{ 个线性无关的特征向量}.$$

若 $A$ 有 $n$ 个互异特征值，则一定可相似对角化。

更一般地，$A$ 可相似对角化当且仅当每个特征值的几何重数等于其代数重数。

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十六、内积空间与正交化

1. $\mathbb{R}^n$ 中的内积

对

$$\alpha=(a_1,\dots,a_n),\qquad \beta=(b_1,\dots,b_n),$$

定义内积为

$$(\alpha,\beta)=a_1b_1+\cdots+a_nb_n.$$

范数定义为

$$\|\alpha\|=\sqrt{(\alpha,\alpha)}.$$

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2. 柯西—施瓦茨不等式

$$(\alpha,\beta)^2 \le \|\alpha\|^2\|\beta\|^2,$$

当且仅当 $\alpha,\beta$ 线性相关时取等号。

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3. 正交向量组

若

$$(\alpha_i,\alpha_j)=0 \quad (i\ne j),$$

则称向量组两两正交。

性质：

• 非零正交向量组一定线性无关；
• 若每个向量模都为 $1$，则称为标准正交向量组。

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4. Gram-Schmidt 正交化

对线性无关向量组 $\alpha_1,\dots,\alpha_s$，定义：

$$\beta_1=\alpha_1,$$ $$\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,$$ $$\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2,$$

一般地，

$$\beta_s=\alpha_s-\sum_{i=1}^{s-1}\frac{(\alpha_s,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i.$$

再单位化：

$$\gamma_i=\frac{\beta_i}{\|\beta_i\|},$$

可得到标准正交组。

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十七、正交矩阵与实对称矩阵

1. 正交矩阵

若 $A$ 满足

$$A^TA=AA^T=I,$$

则称 $A$ 为正交矩阵。

性质：

1. $A^{-1}=A^T$；
2. $\det(A)=\pm 1$；
3. 正交矩阵的列向量组（行向量组）是标准正交组；
4. 两个正交矩阵的乘积仍为正交矩阵。

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2. 实对称矩阵的性质

若 $A^T=A$，则 $A$ 为实对称矩阵。

重要结论

1. 实对称矩阵的特征值都为实数；
2. 对应不同特征值的特征向量彼此正交；
3. 任一实对称矩阵都能被正交对角化。

即存在正交矩阵 $C$，使

$$C^TAC=\Lambda,$$

其中 $\Lambda$ 为对角矩阵。

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3. 实对称矩阵正交对角化步骤

1. 求特征值；
2. 对每个特征值求特征子空间的基；
3. 对重根对应的特征向量组做正交化并单位化；
4. 将得到的标准正交特征向量依次排成矩阵 $C$ 的列；
5. 则

$$C^TAC=\Lambda.$$

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十八、二次型

1. 二次型的矩阵表示

二次型一般写成

$$f(x_1,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j.$$

令

$$X= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n \end{pmatrix},$$

则可写成

$$f(X)=X^TAX.$$

其中可总取 $A$ 为对称矩阵。

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2. 合同变换

若作可逆线性变换

$$X=CY,$$

则

$$f(X)=Y^T(C^TAC)Y.$$

若存在可逆矩阵 $C$ 使

$$B=C^TAC,$$

则称矩阵 $A,B$ 合同。

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3. 标准形与规范形

任一实二次型都可经可逆线性变换化为标准形

$$d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2.$$

进一步可化为规范形

$$y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_r^2.$$

其中：

• $r$ 为二次型的秩；
• $p$ 为正惯性指数；
• $r-p$ 为负惯性指数。

惯性指数在合同变换下不变。

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4. 用正交变换化为标准形

若 $A$ 为实对称矩阵，则二次型

$$f(X)=X^TAX$$

可通过正交变换化为标准形。
这本质上来自实对称矩阵的正交对角化。

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十九、正定二次型

1. 定义

若对任意非零向量 $X$，都有

$$X^TAX>0,$$

则称 $f(X)=X^TAX$ 为正定二次型，$A$ 为正定矩阵。

这里默认 $A$ 为实对称矩阵。

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2. 正定的等价条件

对实对称矩阵 $A$，以下命题等价：

1. $A$ 正定；
2. $A$ 的特征值全为正；
3. 二次型的正惯性指数为 $n$；
4. $A$ 与单位矩阵 $I$ 合同；
5. 存在可逆矩阵 $P$，使

$$A=P^TP;$$

6. $A$ 的所有顺序主子式都大于 $0$。

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3. 顺序主子式

对 $n$ 阶矩阵 $A=(a_{ij})$，定义

$$P_k= \begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1k}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2k}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{k1}&a_{k2}&\cdots&a_{kk} \end{vmatrix}, \qquad k=1,2,\dots,n.$$

这些 $P_k$ 称为 $A$ 的顺序主子式。

正定矩阵判定准则之一：

$$A \text{ 正定} \iff P_k>0 \quad (k=1,2,\dots,n).$$

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4. 负定、半正定、半负定、不定

对二次型 $f(X)=X^TAX$：

• 若对任意非零 $X$，$f(X)<0$，则为负定；
• 若对任意 $X$，$f(X)\ge 0$，则为半正定；
• 若对任意 $X$，$f(X)\le 0$，则为半负定；
• 以上都不满足，则为不定。

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二十、Rayleigh 商

对实对称矩阵 $A$ 及非零向量 $x$，定义 Rayleigh 商

$$R_A(x)=\frac{x^TAx}{x^Tx}.$$

若 $A$ 的特征值满足

$$\lambda_{\min}\le \lambda_{\max},$$

则

$$\lambda_{\min} \le \frac{x^TAx}{x^Tx} \le \lambda_{\max}.$$

并且

$$\lambda_{\min}=\min_{x\ne 0}\frac{x^TAx}{x^Tx}, \qquad \lambda_{\max}=\max_{x\ne 0}\frac{x^TAx}{x^Tx}.$$

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二十一、二次曲面与空间曲线（提纲整理）

原笔记这一部分更偏“课堂速记”，存在不少未展开的中间步骤。这里仅保留有明确定义与可直接复习的核心部分。

1. 柱面

若曲面方程缺少一个变量，则母线平行于对应坐标轴：

• $F(x,y)=0$：母线平行于 $z$ 轴；
• $F(x,z)=0$：母线平行于 $y$ 轴；
• $F(y,z)=0$：母线平行于 $x$ 轴。

常见例子：

• 椭圆柱面：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1;$$

• 双曲柱面：

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1;$$

• 抛物柱面：

$$x^2=2py \quad \text{或} \quad y^2=2px.$$

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2. 旋转曲面

平面曲线绕一条定直线旋转一周所成曲面称为旋转曲面。

常见例子：

• 圆锥面；
• 旋转抛物面；
• 球面。

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3. 空间曲线的参数方程

空间曲线常可写成

$$\begin{cases} x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t). \end{cases}$$

例如圆柱螺线：

$$\begin{cases} x=a\cos t,\\ y=a\sin t,\\ z=bt. \end{cases}$$

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4. 二次曲面分类（只保留课堂中出现的核心类型）

标准化后常见类型包括：

• 椭球面；
• 球面；
• 单叶双曲面；
• 双叶双曲面；
• 椭圆抛物面；
• 双曲抛物面；
• 旋转抛物面。

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